课时目标] 理解平行线的概念，正确地表示平行线，掌握两直线平行的判定方法和平行线的性质能综合运用平行线的性质和判定证明和计算。
教师讲课要求。
知识要点：请学生看一下准备上课。
1. 平行线的概念。
在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。
注意：1）在平行线的定义中，“在同一平面内”是个重要前提；
2）必须是两条直线；
3）同一平面内两条直线的位置关系是：相交或平行，两条互相重合的直线视为同一条直线。
两条直线的位置关系是以这两条直线是否在同一平面内以及它们的公共点个数进行分类的。
2. 平行线的表示方法。
平行用“∥”表示，如图7所示，直线ab与直线cd平行，记作ab∥cd，读作ab 平行于cd。
3. 平行线的画法。
4. 平行线的基本性质。
1）平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行。
2）平行公理的推论：如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也平行。
5. 平行线的判定方法：
1）两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行。
2）两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行。
3）两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行。
4）两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线平行。
5）在同一平面内，如果两条直线同时垂直于同一条直线，那么这两条直线平行。
6. 平行线的性质：
1）两条平行线被第三条直线所截，同位角相等。简记：两直线平行，同位角相等。
2）两条平行线被第三条直线所截，内错角相等。简记：两直线平行，内错角相等。
3）两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补。简记：两直线平行，同旁内角互补。
范例1如图，已知∠amf=∠bng=75°，∠cma=55°，求∠mpn的大小。
答案：50°
解析：因为∠amf=∠bng=75°，又因为∠bng=∠mnp，所以∠amf=∠mnp，所以ef∥gh，所以∠mpn=∠cme，又因为∠amf=75°，∠cma=55°，所以∠amf+∠cma=130°，即∠cmf=130°，所以∠cme=180°－130°=50°，所以∠mpn=50°
范例2如图，∠1与∠3为余角，∠2与∠3的余角互补，∠4=115°，cp平分∠acm，求∠pcm
答案：57.5°
解析：因为∠1+∠3=90°，∠2+（90°－∠3）=180°，所以∠2+∠1=180°，所以ab∥de，所以∠bcn=∠4=115°，所以∠acm=115°，又因为cp平分∠acm，所以∠pcm=∠acm=×115°=57.5°，所以∠pcm=57.
5°范例3如图，已知：∠1+∠2=180°，∠3=78°，求∠4的大小。
答案：102°
解析：因为∠2=∠cdb，又因为∠1+∠2=180°，所以∠1+∠cdb=180°，所以得到ab∥cd，所以∠3+∠4=180°，又因为∠3=78°，所以∠4=102°
范例4如图，已知：∠bap与∠apd 互补，∠1=∠2，说明：∠e=∠f
解析：因为∠bap与∠apd 互补，所以ab∥cd，所以∠bap=∠cpa，又因为∠1=∠2，所以∠bap－∠1=∠cpa－∠2，即∠eap=∠fpa，所以ea∥pf，所以∠e=∠f
范例5 如图，已知ab∥cd，p为hd上任意一点，过p点的直线交hf于o点，试问：∠hop、∠agf、∠hpo有怎样的关系？用式子表示并证明。
答案：∠hop=∠agf－∠hpo
解析：过o作cd的平行线mn，因为ab∥cd，且cd∥mn，所以ab∥mn，所以∠agf=∠mof=∠hon，因为cd∥mn，∠hpo=∠pon，所以∠hop=∠hon－∠pon=∠hon－∠hpo，所以∠hop=∠agf－∠hpo
范例6 如图，已知ab∥cd，说明：∠b＋∠bed＋∠d=360°
分析：因为已知ab∥cd，所以在∠bed的内部过点e作ab的平行线，将∠b＋∠bed＋∠d的和转化成对平行线的同旁内角来求。
解：过点e作ef∥ab，则。
b＋∠bef=180°（两直线平行，同旁内角互补）
ab∥cd（已知）
ef∥ab（作图）
ef∥cd（平行于同一条直线的两直线平行）
∠d＋∠def=180°（两直线平行，同旁内角互补）
∠b＋∠bef＋∠d＋∠def=360°
∠b＋∠bed＋∠d=∠b＋∠bef＋∠d＋∠def
∠b＋∠bed＋∠d=360°
范例7. 小张从家（图中a处）出发，向南偏东40°方向走到学校（图中b处），再从学校出发，向北偏西75°的方向走到小明家（图中c处），试问∠abc为多少度？说明你的理由。
解：∵ae∥bd（已知）
∠bae=∠dba（两直线平行， 内错角相等）
∠bae=40°（已知）
∠abd=40°（等量代换）
∠cbd=∠abc＋∠abd（已知）
∠abc=∠cbd－∠abd（等式性质）
∠abd=40°（已知）
∠abc=75°－40°=35°
范例8 如图，∠adc=∠abc， ∠1＋∠2=180°，ad为∠fdb的平分线，说明：bc为∠dbe的平分线。
分析：从图形上看，ae应与cf平行，ad应与bc平行，不妨假设它们都平行，这时欲证bc为∠dbe的平分线，只须证∠3=∠4，而∠3=∠c=∠6 ，∠4=∠5，由ad为∠fdb的平分线知∠5=∠6，这样问题就转化为证ae∥cf，且ad∥bc了，由已知条件∠1＋∠2=180°不难证明ae∥cf，利用它的平行及∠adc=∠abc的条件，不难推证ad∥bc。
证明：∵∠1＋∠2=180°（已知）
2＋∠7=180°（补角定义）
∠1=∠7（同角的补角相等）
ae∥cf（同位角相等，两直线平行）
∠abc＋∠c=180°（两直线平行，同旁内角互补）
又∠adc=∠abc（已知），cf∥ab（已证）
∠adc＋∠c=180°（等量代换）
ad∥bc（同旁内角互补，两直线平行）
∠6=∠c， ∠4=∠5（两直线平行，同位角相等，内错角相等）
又∠3=∠c（两直线平行，内错角相等）
∠3=∠6（等量代换）
又ad为∠bdf的平分线。
∠3=∠4（等量代换）
bc为∠dbe的平分线。
范例9 如图，de，be 分别为∠bdc， ∠dba的平分线，∠deb=∠1＋∠2
1）说明：ab∥cd
2）说明：∠deb=90°
分析：（1）欲证平行，就找角相等与互补，但就本题，直接证∠cdb与∠abd互补比较困难，而∠1＋∠2=∠deb，若以e为顶点，de为一边，在∠deb内部作∠def=∠2，再由de，eb分别为∠cdb， ∠dba的平分线，就不难证明ab∥cd了，（2）由（1）证得ab∥cd后，由同旁内角互补，易证∠1＋∠2=90°，进而证得∠deb=90°
证明：（1）以e为顶点，ed为一边用量角器和直尺在∠deb的内部作∠def=∠2
de为∠bdc的平分线（已知）
∠2=∠edc（角平分线定义）
∠fed=∠edc（等量代换）
ef∥dc（内错角相等，两直线平行）
∠deb=∠1＋∠2（已知）
∠feb=∠1（等量代换），∠eba=∠ebf=∠1（角平分线定义）
∠feb=∠eba（等量代换）
fe∥ba（内错角相等，两直线平行）
又ef∥dc
ba∥dc（平行的传递性）
2）∵ab∥dc（已证）
∠bdc＋∠dba=180°（两直线平行，同旁内角互补）
又∠1=∠dba，∠2=∠bdc（角平分线定义）
又∠1＋∠2=∠deb
∠deb=90°
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