第十六章《分式》教材分析。
执笔人：武汉市翠微中学陈浩。
一、教科书内容和课程学习目标。
（一）教科书内容。
全章共包括三节：《16．1 分式》、《16．2 分式的运算》、《16．3 分式方程》。
其中，16．1 节引进分式的概念，讨论分式的基本性质及约分、通分等分式变形，是全章的理论基础部分。11．2节讨论分式的四则运算法则，这是全章的一个重点内容，分式的四则混合运算也是本章教学中的一个难点，克服这一难点的关键是通过必要的练习掌握分式的各种运算法则及运算顺序。在这一节中对指数概念的限制从正整数扩大到全体整数，这给运算带来便利。
11．3节讨论分式方程的概念，主要涉及可以化为一元一次方程的分式方程。解方程中要应用分式的基本性质，并且出现了必须检验（验根）的环节，这是不同于解以前学习的方程的新问题。根据实际问题列出分式方程，是本章教学中的另一个难点，克服它的关键是提高分析问题中数量关系的能力。
（三）课程学习目标。
本章教科书的设计与编写以下列目标为出发点：
1．以描述实际问题中的数量关系为背景，抽象出分式的概念，体会分式是刻画现实世界中数量关系的一类代数式。
1）分式的概念。
例1（汉阳区期中考试题）代数式，，，中，其中是分式的个数有（ ）
a．4个 b．3个 c．2个 d．1个。
例2（江岸区期中考题）在下列各式中：，，分式有（ ）
a．3 b．4 c．5 d．2
2）分式有无意义。
例1（2009·常德）要使分式有意义，则应满足的条件是（ ）
abcd．例2（2009·清远）当时，分式无意义．
解析：若分母不为0，则分式有意义；若分母等于0，则分式无意义．反之亦然．根据分式有无意义的条件，可轻松得出答案：例2的答案是b，例3的答案是2.
例3 （江岸区期末考试题）如果分式有意义，那么x的取值范围是（ ）
a．x＞1 b．x＞－1 c．x≠1 d．x≠－1
例4（江岸区期中考试题）分式有意义，则x的取值范围是（ ）
a．x＞3b．x＜3c．x≠3d．x≠－3
例5（硚口区考试题）分式有意义的x的取值范围是（ ）
abcd.
例6（青山区考试题）使分式有意义的条件是（ ）
a．x≠2 b．x≠－2 c．x＝±2 d．x≠±2
3）分式的值为0。
例1（汉阳区期中考试题）如果分式的值为0，则a的值是( )
ab．2c． d．以上全不对。
例2 (2009·安顺)已知分式的值为0，那么的值为。
解析：分式的值为0，应满足两个条件，即分子等于0的同时，分母不为0．∴x+1=0，x-1≠0，∴x=-1．特别提醒：分式的值为0，必须在分式有意义的前提下．
同类中考试题】
1．（2009·重庆綦江）在函数中，自变量x的取值范围是。
2．（2009·黔东南州）当x___时，有意义．
3、(2009·肇庆)若分式的值为零，则的值是（ ）a
a．3 bcd．0
4、（2009·天津市）若分式的值为0，则的值等于2
2．类比分数的基本性质，了解分式的基本性质，掌握分式的约分和通分法则。
一、分式的通分与约分。
例1（汉阳区期中考试题）下列式子计算正确的是( )
ab． cd．
例2（2009·荆门）计算的结果是（ ）
a．a b．bc．1d．－b
解析：本题考查积的乘方运算与分式的约分，，故选b．
例3（2008·恩施州）请从下列三个代数式中任选两个构成一个分式，并化简该分式。
例4（2009·长沙）分式的计算结果是（ ）
a． b． c． d．
解析：本题考查了分式的加减运算．解决本题首先应通分，最后要注意将结果化为最简分式．．故选c．
同类中考试题】
1、（2009·淄博）化简的结果为（ ）b
abcd．
2、（2009·吉林）化简的结果是（ ）d
a． b． c． d．
3、（2009·深圳）化简的结果是d
a． b． c． d．
4．（2009·滨州）化简。
5、若实数满足则的最大值是。
6、（2009·枣庄）a、b为实数，且ab=1，设p=，q=，则p q（填“＞”或“＝”
3．类比分数的四则运算法则，**分式的四则运算，掌握这些法则。
例1（2009·长春）先化简，再求值：，其中。
解析：原式=，当x=2时，原式=．本题意在说理，题型新颖活泼，化简时，除法运算应转化为乘法运算，运算过程中，能约分的一定要约分．
例2（期中考试题）（1） （2）
同类中考试题】
1、（2009·青岛）化简：；
原式．2、(2009·安顺)先化简，再求值：，其中。
原式=，当时，原式=0.5.
3、（2009·黄石）先化简，再求值其中．
原式=．当时，原式．
二、分式的加减。
例2 （2024年株洲市）先化简，再求值：，其中．
解析： =当时，原式．
同类中考试题】
1、（2009·舟山）化简1
2．（2009·邵阳）已知，用“+”或“”连接，有三种不同的形式：，请你任选其中一种进行计算，并化简求值，其中∶=5∶2．
选择：，当∶=5∶2时，，原式=．
3．（2009·山西）化简：
原式===1．
三、 分式的混合运算。
例3 (2009·肇庆)已知，求代数式的值．
解析： ，原式。
例2（汉阳区期中考试题）先化简代数式，然后求代数式的值：（1）先化简，再求值：，其中．
同类中考试题】
1、（2009 ·大兴安岭）先化简：，当时，请你为任选一个适当的数代入求值．
原式= ，的取值注意满足（、）
2、（2009·益阳）先化简，再求值：，其中．
原式= =当时。
原式==．3、（2009·崇左）已知，求代数式的值．
原式===原式，原式=1．
4．结合分式的运算，将指数的讨论范围从正整数扩大到全体整数，构建和发展相互联系的知识体系。
5．结合分析和解决实际问题，讨论可以化为一元一次方程的分式方程，掌握这种方程的解法，体会解方程中的化归思想。
一、分式方程问题。
例1（汉阳区期中考试题）将分式方程去分母后，其中结果正确的是（ ）
a． b． c． d．
例2 （2009·襄樊市）分式方程的解为（ ）
a．1 b．－1 c．－2 d．－3
解析：方程两边同乘，得，解得，经检验是原分式方程的解，故选d．解简单的分式方程并不难，关键是不要忘了检验，因为解分式方程有时会产生增根．
例3（汉阳区期中考试题）（1）；（2）；
同类中考试题】
1、（2009·山西）解分式方程，可知方程（ ）d
a．解为 b．解为 c．解为 d．无解。
2、（2009·嘉兴）解方程的结果是（ ）d
a． bc． d．无解。
3．（2009·孝感）关于x的方程的解是正数，则a的取值范围是（ ）d
a．a＞－1 b．a＞－1且a≠0
c．a＜－1 d．a＜－1且a≠－2
4.（2009·贺州）解分式方程：
方程两边同乘，得解这个方程，得x=2 检验：当x=2时，=0，所以x=2是增根，原方程无解．
二、分式方程的应用。
例1 （汉阳区期中考试题）比邻而居的蜗牛神和蚂蚁王相约，第二天上午8时结伴出发，到相距16米的银杏树下参加**环境保护问题的微型动物首脑会议．蜗牛神想到“笨鸟先飞”的古训，于是给蚂蚁王留下一纸便条后提前2小时独自先行，蚂蚁王按既定时间出发，结果它们同时到达．已知蚂蚁王的速度是蜗牛神的4倍，求它们各自的速度．
例2（2009·宁波市）如图，点a，b在数轴上，它们所对应的数分别是，，且点a、b到原点的距离相等，求的值．
解析：由题意得， ，解得．经检验，是原方程的解． 的值为．
同类中考试题】
1、（2009·**）某工厂准备加工600个零件，在加工了100个零件后，采取了新技术，使每天的工作效率是原来的2倍，结果共用7天完成了任务，求该厂原来每天加工多少个零件？
1、设该厂原来每天加工x个零件，由题意得：解得，x=50
经检验：x=50是原分式方程的解，答：该厂原来每天加工50个零件．
2、（2009·齐齐哈尔）某电脑公司经销甲种型号电脑，受经济危机影响，电脑**不断下降．今年三月份的电脑售价比去年同期每台降价1000元，如果卖出相同数量的电脑，去年销售额为10万元，今年销售额只有8万元．
1）今年三月份甲种电脑每台售价多少元？
2）为了增加收入，电脑公司决定再经销乙种型号电脑，已知甲种电脑每台进价为3500元，乙种电脑每台进价为3000元，公司预计用不多于5万元且不少于4.8万元的资金购进这两种电脑共15台，有几种进货方案？
3）如果乙种电脑每台售价为3800元，为打开乙种电脑的销路，公司决定每售出一台乙种电脑，返还顾客现金元，要使（2）中所有方案获利相同，值应是多少？此时，哪种方案对公司更有利？
解：（1）设今年三月份甲种电脑每台售价元，，解得：
经检验：是原方程的根，所以甲种电脑今年每台售价4000元．
2）设购进甲种电脑台， ，解得，因为的正整数解为6，7，8，9，10，所以共有5种进货方案。
3）设总获利为元， 当时，（2）中所有方案获利相同．
此时，购买甲种电脑6台，乙种电脑9台时对公司更有利。
3、（2009·本溪）“五·一”期间，九年一班同学从学校出发，去距学校6千米的本溪水洞游玩，同学们分为步行和骑自行车两组，在去水洞的全过程中，骑自行车的同学比步行的同学少用40分钟，已知骑自行车的速度是步行速度的3倍．
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