一．解答题（共8小题）
1．如图所示，一个四边形纸片abcd，∠b=∠d=90°，把纸片按如图所示折叠，使点b落在ad边上的b′点，ae是折痕．
1）试判断b′e与dc的位置关系；（2）如果∠c=130°，求∠aeb的度数．
2．已知：点a（4，0），点b是y轴正半轴上一点，如图1，以ab为直角边作等腰直角三角形abc．
1）当点b坐标为（0，1）时，求点c的坐标；
2）如图2，以ob为直角边作等腰直角△obd，点d在第一象限，连接cd交y轴于点e．在点b运动的过程中，be的长是否发生变化？若不变，求出be的长；若变化，请说明理由．
3．如图，在△abc中，∠acb=90°，ac=bc，e为ac边的一点，f为ab边上一点，连接cf，交be于点d且∠acf=∠cbe，cg平分∠acb交bd于点g，1）求证：cf=bg；
2）延长cg交ab于h，连接ag，过点c作cp∥ag交be的延长线于点p，求证：pb=cp+cf；
4．如图（1），ab=cd，ad=bc，o为ac中点，过o点的直线分别与ad、bc相交于点m、n，那么∠1与∠2有什么关系？请说明理由；
若过o点的直线旋转至图（2）、（3）的情况，其余条件不变，那么图（1）中的∠1与∠2的关系成立吗？请说明理由．
5．如图，把△abc纸片沿de折叠，当点a落在四边形bcde内部时，1）写出图中一对全等的三角形，并写出它们的所有对应角；
2）设∠aed的度数为x，∠ade的度数为y，那么∠1，∠2的度数分别是多少？（用含有x或y的代数式表示）
3）∠a与∠1+∠2之间有一种数量关系始终保持不变，请找出这个规律．
6．在△abc中，ad是△abc的角平分线．
1）如图1，过c作ce∥ad交ba延长线于点e，若f为ce的中点，连接af，求证：af⊥ad；
2）如图2，m为bc的中点，过m作mn∥ad交ac于点n，若ab=4，ac=7，求nc的长．
7．如图，在rt△abc中，∠abc=90°，cd平分∠acb交ab于点d，de⊥ac于点e，bf∥de交cd于点f．
求证：de=bf．
8．已知：△abc内部一点o到两边ab、ac所在直线的距离相等，且ob=oc．
求证：ab=ac．
参***与试题解析。
一．解答题（共8小题）
1．如图所示，一个四边形纸片abcd，∠b=∠d=90°，把纸片按如图所示折叠，使点b落在ad边上的b′点，ae是折痕．
1）试判断b′e与dc的位置关系；
2）如果∠c=130°，求∠aeb的度数．
分析】（1）由于ab′是ab的折叠后形成的，所以∠ab′e=∠b=∠d=90°，∴b′e∥dc；
2）利用平行线的性质和全等三角形求解．
解答】解：（1）由于ab′是ab的折叠后形成的，ab′e=∠b=∠d=90°，b′e∥dc；
2）∵折叠，△abe≌△ab′e，∠aeb′=∠aeb，即∠aeb=∠beb′，b′e∥dc，∴∠beb′=∠c=130°，∠aeb=∠beb′=65°．
点评】本题考查了三角形全等的判定及性质；把纸片按如图所示折叠，使点b落在ad边上的b′点，则△abe≌△ab′e，利用全等三角形的性质和平行线的性质及判定求解．
2．已知：点a（4，0），点b是y轴正半轴上一点，如图1，以ab为直角边作等腰直角三角形abc．
1）当点b坐标为（0，1）时，求点c的坐标；
2）如图2，以ob为直角边作等腰直角△obd，点d在第一象限，连接cd交y轴于点e．在点b运动的过程中，be的长是否发生变化？若不变，求出be的长；若变化，请说明理由．
分析】（1）过c作cm⊥y轴于m，通过判定△bcm≌△abo（aas），得出cm=bo=1，bm=ao=4，进而得到om=3，据此可得c（﹣1，﹣3）；
2）过c作cm⊥y轴于m，根据△bcm≌△abo，可得cm=bo，bm=oa=4，再判定△dbe≌△cme（aas），可得be=em，进而得到be=bm=2．
解答】解：（1）如图1，过c作cm⊥y轴于m．
cm⊥y轴，∠bmc=∠aob=90°，∠abo+∠bao=90°
∠abc=90°，∠cbm+∠abo=90°，∠cbm=∠bao，在△bcm与△abo中，△bcm≌△abo（aas），cm=bo=1，bm=ao=4，om=3，c（﹣1，﹣3）；
2）在b点运动过程中，be长保持不变，be的长为2，理由：如图2，过c作cm⊥y轴于m，由（1）可知：△bcm≌△abo，cm=bo，bm=oa=4．
△bdo是等腰直角三角形，bo=bd，∠dbo=90°，cm=bd，∠dbe=∠cme=90°，在△dbe与△cme中，△dbe≌△cme（aas），be=em，be=bm=2．
点评】本题考查了全等三角形的判定以及全等三角形对应边、对应角相等的性质，熟练掌握三角形全等的判定方法，判定△dbe≌△cme是解第（2）题的关键．
3．如图，在△abc中，∠acb=90°，ac=bc，e为ac边的一点，f为ab边上一点，连接cf，交be于点d且∠acf=∠cbe，cg平分∠acb交bd于点g，1）求证：cf=bg；
2）延长cg交ab于h，连接ag，过点c作cp∥ag交be的延长线于点p，求证：pb=cp+cf；
3）在（2）问的条件下，当∠gac=2∠fch时，若s△aeg=3，bg=6，求ac的长．
分析】（1）根据asa证明△bcg≌△caf，则cf=bg；
2）先证明△acg≌△bcg，得∠cag=∠cbe，再证明∠pcg=∠pgc，即可得出结论；
3）作△aeg的高线em，根据角的大小关系得出∠cag=30°，根据面积求出em的长，利用30°角的三角函数值依次求ae、eg、be的长，所以ce=3+，根据线段的和得出ac的长．
解答】证明：（1）如图1，∵∠acb=90°，ac=bc，∠a=45°，cg平分∠acb，∠acg=∠bcg=45°，∠a=∠bcg，在△bcg和△caf中，△bcg≌△caf（asa），cf=bg；
2）如图2，∵pc∥ag，∠pca=∠cag，ac=bc，∠acg=∠bcg，cg=cg，△acg≌△bcg，∠cag=∠cbe，∠pcg=∠pca+∠acg=∠cag+45°=∠cbe+45°，pgc=∠gcb+∠cbe=∠cbe+45°，∠pcg=∠pgc，pc=pg，pb=bg+pg，bg=cf，pb=cf+cp；
3）如图3，过e作em⊥ag，交ag于m，s△aeg=agem=3，由（2）得：△acg≌△bcg，bg=ag=6，×6×em=3，em=，设∠fch=x°，则∠gac=2x°，∠acf=∠ebc=∠gac=2x°，∠ach=45°，2x+x=45，x=15，∠acf=∠gac=30°，在rt△aem中，ae=2em=2，am==3，m是ag的中点，ae=eg=2，be=bg+eg=6+2，在rt△ecb中，∠ebc=30°，ce=be=3+，ac=ae+ec=2+3+=3+3．
点评】本题考查了全等三角形的性质和判定及等腰直角三角形的性质，证明两线段相等时，一般都是证明两线段所在的三角形全等，因此第一问只需要证明△bcg≌△caf即可；第3问，如何得出30°角和作辅助线，利用到s△aeg=3列式是突破口．
4．如图（1），ab=cd，ad=bc，o为ac中点，过o点的直线分别与ad、bc相交于点m、n，那么∠1与∠2有什么关系？请说明理由；
若过o点的直线旋转至图（2）、（3）的情况，其余条件不变，那么图（1）中的∠1与∠2的关系成立吗？请说明理由．
分析】（1）证明三角形acd和cab全等．根据全等三角形判定中的sss可得出两三角形全等，那么就能证出ad∥bc，也就得出∠1=∠2了．
2）（3）和（1）的证法完全一样．
解答】解：∠1与∠2相等．
证明：在△adc与△cba中，△adc≌△cba．（sss）
∠dac=∠bca．
da∥bc．
③图形同理可证，△adc≌△cba得到∠dac=∠bca，则da∥bc，∠1=∠2．
点评】本题主要考查了全等三角形的判定和平行线的判定，根据全等三角形得出角相等是解题的关键．
5．如图，把△abc纸片沿de折叠，当点a落在四边形bcde内部时，1）写出图中一对全等的三角形，并写出它们的所有对应角；
2）设∠aed的度数为x，∠ade的度数为y，那么∠1，∠2的度数分别是多少？（用含有x或y的代数式表示）
3）∠a与∠1+∠2之间有一种数量关系始终保持不变，请找出这个规律．
分析】（1）根据折叠就可写出一对全等三角形，根据折叠，则重合的顶点是对应点，重合的角是对应角；
2）根据全等三角形的对应角相等，以及平角的定义进行表示；
3）根据（2）中的表示方法，可以求得∠1+∠2，再找到∠a和x、y之间的关系，就可建立它们之间的联系．
解答】解：（1）△ead≌△ea'd，其中∠ead=∠ea'd，∠aed=∠a'ed，∠ade=∠a'de；
2）∠1=180°﹣2x，∠2=180°﹣2y；
3）∵∠1+∠2=360°﹣2（x+y）=360°﹣2（180°﹣∠a）=2∠a．
规律为：∠1+∠2=2∠a．
点评】在研究折叠问题时，有全等形出现，要充分利用全等的性质．
6．在△abc中，ad是△abc的角平分线．
1）如图1，过c作ce∥ad交ba延长线于点e，若f为ce的中点，连接af，求证：af⊥ad；
2）如图2，m为bc的中点，过m作mn∥ad交ac于点n，若ab=4，ac=7，求nc的长．
分析】（1）推出∠3=∠e，推出ac=ae，根据等腰三角形性质得出af⊥ce，根据平行线性质推出即可；
2）延长ba与mn延长线于点e，过b作bf∥ac交nm延长线于点f，求出bf=cn，ae=an，be=bf．设cn=x，则bf=x，ae=an=ac﹣cn=7﹣x，be=ab+ae=4+7﹣x．得出方程4+7﹣x=x．求出即可．
八年级数学全等三角形的性质 全等三角形 基础练习 含答案
试卷简介 全卷共3个选择题，9个填空题，2个解答题和1个证明题，测试时间为30分钟，共100分。本卷试题立足基础，主要考察了学生对全等三角形性质的掌握情况。各个题目难度不一，学生在做题过程中可回顾本章知识点，加强对全等三角形的认识。学习建议 本讲主要内容是全等三角形的性质，它不仅是中考常考的内容之一...
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