第八届世界奥林匹克数学竞赛（中国区）选拔赛。
地方赛复赛试题（八年级复赛答案）
一、填空题。（每题5分，共60分）
1.(1+x)．
9. 偶数。
12. y=-x+2.
二、解答题。（每题10分，共40分）
1. 解：假设存在三个不同的素数p、q、r，满足=a, =a+md, =a+nd ，其中，m、n是正整数，a、d是实数。
消去a、d，得，即
式两边立方得：
将式代入式：
由于是无理数，故上述等式矛盾。
所以不存在三个不同的素数p、q、r，满足=a, =a+md, =a+nd 。
2.证：如图所示，分别取pa,pb中点e,f,连接me,ed,fl,fd.
结合题中条件可得：
直角三角形apm中，me=ap/2=ae，∠mep=∠eam+∠ame=2∠eam
三角形abp中，fd=ap/2 (中位线是底边的一半)
所以，me=fd
同理，ed=lf，∠lfp=2∠lbp 则∠mep=∠lfp.
容易得出，四边形pedf是平行四边形，则∠ped=∠pfd.（对角相等）
则∠med=∠lfd,所以三角形med与三角形dfl全等（sas）
所以dm=dl 得证。
3.证明：如图，作△abd关于ad的轴对称图形△aed，连ce。
则△abd≌△aed，ead=∠bad=21°，ae=ab
ade=∠adb=180°-67°=113°，∠cde=113°-67°=46°。
ode=∠oed=∠abd=46°,则od=oe,∠coe=2∠oed
又dc=ab=ae,∴oc=oa,则∠oca=∠oac
∴∠coe=2∠oac=2∠oed,则∠oac=∠oed=46°
∴∠dac=∠dae+∠oac=21°+46°=67° .
4.解：如图，将解出a、b、c三题的学生用a、b、c三个圆表示，则重叠部分表示同时解出两题或三题的学生，其人数分别以a，b，c，d，e，f，g表示。
由于每个学生至少解出一题，故a+b+c+d+e+f+g=25①
由于没有解出a题的学生中，解出b题的人数是解出c题的人数的2倍，故b+f=2（c+f）②
由于在能解a的学生中，至少还能解别的一题的人数比不能解别的题目的人数少一个，故a=d+e+g+1③
由于正好能解一道题目的学生中，有一半不能解a，故a=b+c④
由②得：b=2c+f，f=b-2c⑤
以⑤代入①消去f得a+2b-c+d+e+g=25⑥
以③、④分别代入⑥得：2b-c+2d+2e+2g=24⑦
3b+d+e+g=25⑧
以2×⑧-得：4b+c=26⑨
c≥0，∴4b≤26，b≤6
利用⑤⑨消去c，得f=b-2（26-4b）=9b-52
f≥0，∴9b≥52，b≥
b是整数，b=6，即能解出b题的学生有6人。
三、综合素质题。（10分）
解：（1）作ae⊥ob于e，∵a（4，4），∴oe=4，△aob为等腰直角三角形，且ae⊥ob，∴oe=eb=4，ob=8，∴b（8，0）
（2）作ae⊥ob于e，df⊥ob于f，∵△acd为等腰直角三角形，∴ac=dc，∠acd=90°即∠acf+∠dcf=90°，∵fdc+ ∠dcf=90°，∴acf=∠fdc，又∵∠dfc=∠aec=90°，∴dfc≌△cea，∴ec=df，fc=ae，∵a（4，4），∴ae=oe=4，∴fc=oe，即of+ef=ce+ef，∴of=ce，∴of=df，∴∠dof=45°
∵△aob为等腰直角三角形，∴∠aob=45°，∴aod=∠aob+∠dof=90°。
3）成立，理由如下：
在am上截取an=of，连en．∵a（4，4），ae=oe=4，又∵∠ean=∠eof=90°，an=of，△ean≌△eof(sas)
∠oef=∠aen，ef=en，又∵△egh为等腰直角三角形，∠geh=45°，即∠oef+∠oem=45°，∴aen+∠oem=45°
又∵∠aeo=90°，∴nem=45°=∠fem，又∵em=em，△nem≌△fem(sas) ，mn=mf，∴am－mf=am－mn=an，∴am－mf=of，即。
数学与生活。（10分）
评分标准：语言表达清楚（2分）、故事内容全面（2分）、故事中包含数学知识
4分，包含的数学知识越多，得分越多高）、不少于（2分）。
参考：可结合数的分类、数的特点来编写故事。
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