期中检测卷。
120分钟 150分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，满分40分)
1.如果一个三角形三个内角的度数比为1∶2∶3,那么这个三角形最小角的正切值为。
a. b.c. d.
2.如图，在△abc中，sin b=,ad⊥bc于点d,∠dac=45°,ac=10,则线段bd的长为。
a.10 b.10
c.10 d.15
3.如图，钓鱼竿ac长6米，露出水面的渔线bc长3米，某钓者想看看鱼钓上的情况，把鱼竿ac转动到ac'的位置，此时露出水面的渔线b'c'长3米，则鱼竿转过的角度是。
a.60° b.45°
c.15° d.90°
4.如图，小明家附近有一斜坡ab=40米，其坡度i=1∶,斜坡ab上有一竖直向上的古树ef,小明在山底a处看古树树顶e的仰角为60°,在山顶b处看古树树顶e的仰角为15°,则古树的高约为(参考数据：≈1.
414,≈1.732)
a.16.9米 b.13.7米。
c.14.6米 d.15.2米。
5.如图，在平面直角坐标系中，过点a与x轴平行的直线交抛物线y=(x+1)2于点b,c,线段bc的长度为6,抛物线y=-2x2+b与y轴交于点a,则b=
a.1 b.4.5
c.3 d.6
6.当a≠0时，函数y=与y=-ax2+a在同一直角坐标系中的大致图象可能是。
7.若二次函数的图象的顶点坐标为(2,-1),且抛物线过(0,3),则二次函数的表达式是。
8.如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，图象过点a(3,0),且函数图象的对称轴是直线x=1.下列结论正确的是。
4ac >0
c.2a-b=0
9.如图，小明在大楼30米高(即ph=30米)的窗口p处进行观测，测得山坡顶a处的俯角为15°,山脚处b的俯角为60°,已知该山坡的坡度i=1∶,点p,h,b,c,a在同一个平面上，点h,b,c在同一条直线上，且ph⊥bc,则a点到bc的距离为。
a.10米 b.15米。
c.20米 d.30米。
10.如图为二次函数y=ax2+bx+c的图象，给出下列说法：①ab<0;②方程ax2+bx+c=0的根为x1=-1,x2=3;③a+b+c>0;④当x<1时，y随x的增大而增大；⑤当y>0时，x<-1或x>3.
其中正确的说法是。
a.①②b.①②
c.①③d.②④
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分)
11.已知α为锐角，tan(90°-α则α为 30 度。
12.如图，某高速公路建设中需要测量某条江的宽度ab,飞机上的测量人员在c处测得a,b两点的俯角分别为45°和30°.若飞机离地面的高度ch为1200米，且点h,a,b在同一水平直线上，则这条江的宽度ab为 1200(-1) 米。
(结果保留根号)
13.如图，线段ab的长为2,c为ab上一个动点，分别以ac,bc为斜边在ab的同侧作等腰直角△acd和等腰直角△bce,那么de长的最小值是 1 .
14.如图，一段抛物线：y=-x(x-2)(0≤x≤2)记为c1,它与x轴交于两点o,a1;将c1绕点a1旋转180°得到c2,交x轴于点a2;将c2绕点a2旋转180°得到c3,交x轴于点a3;…如此进行下去，直至得到c6,若点p(11,m)在第6段抛物线c6上，则m= -1 .
三、(本大题共2小题，每小题8分，满分16分)
15.在rt△abc中，∠c=90°,若tan∠a=,求sin∠a.
解：∵tan∠a=,∴设a=3k,b=4k,则c==5k,sin∠a=.
16.已知抛物线y=-x2+bx+c经过a(-3,0)和b(0,3)两点。
1)求抛物线的表达式；
2)求顶点的坐标。
解：(1)∵抛物线y=-x2+bx+c经过a(-3,0)和b(0,3)两点，解得。
抛物线的表达式为y=-x2-2x+3.
2)∵y=-x2-2x+3=-(x+1)2+4,顶点的坐标为(-1,4).
四、(本大题共2小题，每小题8分，满分16分)
17.如图，斜坡ac的坡度(坡比)为1∶,ac=10米。坡顶有一旗杆bc,旗杆顶端b点与a点有一条彩带ab相连，ab=14米。试求旗杆bc的高度。
解：延长bc交ad于点e,则ce⊥ad.
在rt△aec中，ac=10,由坡比为1︰可知，∠cae=30°,ce=ac·sin 30°=10×=5,ae=ac·cos 30°=10×=5.
在rt△abe中，be==11.
be=bc+ce,∴bc=be-ce=11-5=6.
答：旗杆的高度为6米。
18.跨江大桥采用了国际上新颖的u型钢构组合拱桥结构，主桥的钢拱在空中划出一道优美的弧线，远远望去像是一弯彩虹横卧于清波之上，大桥的桥拱是抛物线的一部分，位于桥面上方部分的拱高约20米，跨度约120米，如图。
1)请你建立适当的直角坐标系，求出描述主桥上的钢拱形状的抛物线表达式；
2)问距离桥拱与桥面交点20米处的支架长为多少米？
解：(1)以桥宽中点为平面直角坐标系的原点，建立如图坐标系。
由题可知抛物线的顶点坐标为(0,20)且过点(60,0),(60,0),设表达式为y=ax2+c,则解得。
抛物线表达式为y=-x2+20.
2)当x=60-20=40时，y=米，即此时支架长为米。
五、(本大题共2小题，每小题10分，满分20分)
19.已知二次函数y=ax2+4x+2的图象经过点a(3,-4).
1)求a的值；
2)求二次函数图象的顶点坐标；
3)直接写出函数y随x增大而减小的自变量x的取值范围。
解：(1)将点a(3,-4)代入y=ax2+4x+2,得a=-2.
2)∵y=-2x2+4x+2=-2(x-1)2+4,顶点坐标为(1,4).
3)∵y=-2x2+4x+2,a=-2<0,抛物线开口向下，对称轴为直线x=1,当x>1时，函数y随自变量x的增大而减小。
20.某新农村乐园设置了一个秋千场所，如图所示，秋千拉绳ob的长为3 m,静止时，踏板到地面距离bd的长为0.6 m(踏板厚度忽略不计).
为安全起见，乐园管理处规定：儿童的“安全高度”为h m,**的“安全高度”为2 m.(计算结果精确到0.
1 m)
1)当摆绳oa与ob成45°夹角时，恰为儿童的安全高度，则h= 1.5 m.
2)某**在玩秋千时，摆绳oc与ob的最大夹角为55°,问此人是否安全？
参考数据：≈1.41,sin 55°≈0.82,cos 55°≈0.57,tan 55°≈1.43)
解：(2)过点c作ce⊥ob于点e.
在rt△oec中，=cos 55°,oe=oc·cos 55°,ed=ob-oe+bd≈3-3×0.57+0.6≈1.9 m,1.9<2,∴此人安全。
六、(本题满分12分)
21.某“火龙果”经营户有a,b两种“火龙果”**，若买2件a种“火龙果”和1件b种“火龙果”,共需120元；若买3件a种“火龙果”和2件b种“火龙果”,共需205元。
1)设a,b两种“火龙果”每件售价分别为a元，b元，求a,b的值；
2)b种“火龙果”每件的成本是40元，根据市场调查：若按(1)中求出的单价销售，该“火龙果”经营户每天销售b种“火龙果”100件；若销售单价每**1元，b种“火龙果”每天的销售量就减少5件。
求每天b种“火龙果”的销售利润y(元)与销售单价(x)元之间的函数关系？
求销售单价为多少元时，b种“火龙果”每天的销售利润最大，最大利润是多少？
解：(1)由条件可得解得。
a=35,b=50.
2)①由题意得y=(x-40)[100-5×(x-50)]=5x2+550x-14000.
y=-5x2+550x-14000=-5(x-55)2+1125,当x=55时，y的最大值为1125,即销售单价为55元时，b种“火龙果”每天的销售利润最大，最大利润是1125元。
七、(本题满分12分)
22.某班数学兴趣小组为了测量建筑物ab的高度，他们选取了地面上一点e,测得de的长度为8.65米，并以建筑物cd的顶端点c为观测点，测得点a的仰角为45°,点b的俯角为37°,点e的俯角为30°.
1)求建筑物cd的高度；
2)求建筑物ab的高度。
参考数据：≈1.73,sin 37°≈,cos 37°≈,tan 37°≈)
解：(1)在rt△cde中，tan∠ced=,de=8.65,∠ced=30°,tan 30°=,dc=8.
65×tan 30°=8.65×≈5,建筑物cd的高度约为5米。
2)过点c作cf⊥ab于点f.
在rt△cbf中，tan∠fcb=,bf=dc=5,∠fcb=37°,tan 37°=,fc≈6.67.
在rt△afc中，∵∠acf=45°,af=cf=6.67.
ab=af+bf≈11.67,建筑物ab的高度约为11.67米。
八、(本题满分14分)
23.如图1,在平面直角坐标系中，直线y=x-1与抛物线y=-x2+bx+c交于a,b两点，其中a(m,0),b(4,n),该抛物线与y轴交于点c,与x轴交于另一点d.
1)求m,n的值及该抛物线的表达式；
2)如图2,若p为线段ad上的一动点(不与点a,d重合),分别以ap,dp为斜边，在直线ad的同侧作等腰直角△apm和等腰直角△dpn,连接mn,试确定△mpn面积最大时，p点的坐标。
解：(1)把a(m,0),b(4,n)代入y=x-1,得m=1,n=3,a点坐标为(1,0),b点坐标为(4,3),y=-x2+bx+c经过点a与点b,解得。
二次函数的表达式为y=-x2+6x-5.
2)∵△apm与△dpn都为等腰直角三角形，∠apm=∠dpn=45°,∠mpn=90°,△mpn为直角三角形，令-x2+6x-5=0,得到x=1或x=5,d点坐标为(5,0),a点坐标为(1,0),即da=5-1=4,设ap=k,则有dp=4-k,pm=k,pn=(4-k),s△mpn=pm·pn=k×(4-k)=-k2+k=-(k-2)2+1,当k=2,即ap=2时，s△mpn最大，此时op=3,即p点坐标为(3,0).
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