§28.1.2圆的认识---圆的对称性。
教学目标。知识与技能。
1．认识圆的对称性，知道圆既是轴对称图形，又是中心对称图形；
2．垂径定理及其逆定理．
3．能说出等弦、等弧之间的关系，能灵活运用垂径定理及逆定理进行有关计算和证明。
过程与方法。
1．通过折叠、旋转的动手实验，多观察、探索、发现圆中圆心、弧、弦之间的关系，体会研究几何图形的各种方法；
2．利用圆的对称性通过折叠来发现垂径定理，充分体验探索的过程。
情感与价值观要求。
通过学习垂径定理及其逆定理的证明，使学生领会数学的严谨性和探索精神，培养学生实事求是的科学态度和积极参与的主动精神．
教学重难点。
重点：（1）揭示与圆有关的本质属性；（2）垂径定理探索及其应用。
难点：垂径定理探索及其应用。
教学方法。启发式教学。
教学**。多**，圆规，直尺，半透明纸。
投影片两张：
第一张：做一做(记作§3．2．1a) 第二张：想一想(记作§3．2．1b)
教学过程。．创设问题情境，引入新课。
师]前面我们已**过轴对称图形，哪位同学能叙述一下轴对称图形的定义？
生]如果一个图形沿着某一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫轴对称图形，这条直线叫对称轴．
师]我们是用什么方法研究了轴对称图形？
生]折叠．师]今天我们继续用前面的方法来研究圆的对称性．
．讲授新课。
师]同学们想一想：圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？你能找到多少条对称轴？
生]圆是轴对称图形，过圆心的直线是它的对称轴，有无数条对称轴．
师]是吗？你是用什么方法解决上述问题的？大家互相讨论一下．
生]我们可以利用折叠的方法，解决上述问题．把一个圆对折以后，圆的两半部分重合，折痕是一条过圆心的直线，由于过圆心可以作无数条直线，这样便可知圆有无数条对称轴．
师]很好．教师板书：
圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线．
下面我们来认识一下弧、弦、直径这些与圆有关的概念．
1．圆弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧(arc)．
2．弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦(chord)．
3．直径：经过圆心的弦叫直径(diameter)．
如下图，以a、b为端点的弧记作，读作“圆弧ab”或“弧ab”；线段ab是⊙o的一条弦，弧cd是⊙o的一条直径．
注意：1．弧包括优弧(major arc)和劣弧(minor arc)，大于半圆的弧称为优弧，小于半圆的弧称为劣弧．如上图中，以a、d为端点的弧有两条：优弧acd(记作)，劣弧abd(记作)．半圆：
圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧叫半圆弧，简称半圆．半圆是弧，但弧不一定是半圆；半圆既不是劣弧，也不是优弧．
2．直径是弦，但弦不一定是直径．
下面我们一起来做一做：(出示投影片§3．2．1a)
按下面的步骤做一做：
1．在一张纸上任意画一个⊙o，沿圆周将圆剪下，把这个圆对折，使圆的两半部分重合．
2．得到一条折痕cd．
3．在⊙o上任取一点a，过点a作cd折痕的垂线，得到新的折痕，其中，点m是两条折痕的交点，即垂足．
4．将纸打开，新的折痕与圆交于另一点b，如上图．
师]老师和大家一起动手．
教师叙述步骤，师生共同操作)
师]通过第一步，我们可以得到什么？
生齐声]可以知道：圆是轴对称图形，过圆心的直线是它的对称轴．
师]很好．在上述的操作过程中，你发现了哪些相等的线段和相等的弧？
生]我发现了，am＝bm，，．
师]为什么呢？
生]因为折痕am与bm互相重合，a点与b点重合．
师]还可以怎么说呢？能不能利用构造等腰三角形得出上面的等量关系？
师生共析]如下图示，连接oa、ob得到等腰△oab，即oa＝ob．因cd⊥ab，故△oam与△obm都是rt△，又om为公共边，所以两个直角三角形全等，则am＝bm．又⊙o关于直径cd对称，所以a点和b点关于cd对称，当圆沿着直径cd对折时，点a与点b重合，与重合，与重合．因此am＝bm，=，
师]在上述操作过程中，你会得出什么结论？
生]垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧．
师]同学们总结得很好．这就是利用圆的轴对称性得到的与圆相关的一个重要性质——垂径定理．在这里注意；①条件中的“弦”可以是直径．②结论中的“平分弧”指平分弦所对的劣弧、优弦．
下面，我们一起看一下定理的证明：
教师边板书，边叙述)
如上图，连结oa、ob，则oa＝ob．
在rt△oam和rt△obm中，oa＝ob，om＝om，rt△oam≌rt△obm，am＝bm．
点a和点b关于cd对称．
⊙o关于直径cd对称，当圆沿着直径cd对折时，点a与点b重合，与重合，与重合．
师]为了运用的方便，不易出现错误，易于记忆，可将原定理叙述为：一条直线若满足：(1)过圆心；(2)垂直于弦，那么可推出：①平分弦，②平分弦所对的优弧，③平分弦所对的劣弧．
即垂径定理的条件有两项，结论有三项．用符号语言可表述为：
如图3－7，在⊙o中，下面，我们通过求解例1，来熟悉垂径定理：
例1]如下图所示，一条公路的转弯处是一段圆弧(即图中，点o是的圆心)，其中cd＝600m，e为上一点，且oe⊥cd，垂足为f，ef＝90m，求这段弯路的半径．
师生共析]要求弯路的半径，连结oc，只要求出oc的长便可以了．因为已知oe⊥cd，所以cf＝cd＝300cm，of＝oe－ef，此时就得到了一个rt△cfo，哪位同学能口述一下如何求解？
生]连结oc，设弯路的半径为r m，则。
of＝(r－90)m，∵oe⊥cd，cf＝cd＝×600＝300(m)．
据勾股定理，得。
oc2＝cf2＋of2，即r2＝3002＋(r－90)2
解这个方程，得r＝545．
这段弯路的半径为545m．
师]在上述解题过程中使用了列方程的方法，用代数方法解决几何问题，这种思想应在今后的解题过程中注意运用．
随堂练习：p92．1．略。
下面我们来想一想(出示投影片§3．2．1b)
如下图示，ab是⊙o的弦(不是直径)，作一条平分ab的直径cd，交ab于点m．
师]上图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？
生]它是轴对称图形，其对称轴是直径cd所在的直线．
师]很好．你是用什么方法验证上述结论的？大家互相交流讨论一下，你还有什么发现？
生]通过折叠的方法，与刚才垂径定理的探索方法类似，在一张纸上画一个⊙o，作一条不是直径的弦ab，将圆对折，使点a与点b重合，便得到一条折痕cd与弦ab交于点m．cd就是⊙o的对称轴，a点、b点关于直径cd对称．由轴对称可知，ab⊥cd，=，
师]大家想想还有别的方法吗？互相讨论一下．
生]如上图．连接oa、ob便可得到一个等腰△oab，即oa＝ob，又am＝mb，即m点为等腰△oab底边上的中线．由等腰三角形三线合一的性质可知cd⊥ab，又cd是⊙o的对称轴，当圆沿cd对折时，点a与点b重合，与重合，与重合．
师]在上述的**中，你会得出什么结论？
生]平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧．
师]为什么上述条件要强调“弦不是直径”？
生]因为圆的任意两条直径互相平分，但是它们不一定是互相垂直的．
师]我们把上述结论称为垂径定理的一个逆定理．
师]同学们，你能写出它的证明过程吗？
生]如上图，连结oa、ob，则oa＝ob．
在等腰△oab中，∵am＝mb，cd⊥ab(等腰三角形的三线合一)．
⊙o关于直径cd对称．
当圆沿着直径cd对折时，点a与点b重合，与重合，与重合．
师]接下来，做随堂练习：p92．
2．如果圆的两条弦互相平行，那么这两条弦所夹的弧相等吗？为什么？
答：相等．理由：如下图示，过圆心o作垂直于弦的直径ef，由垂径定理设=，=用等量减等量差相等，得－=－即=，故结论成立．
符合条件的图形有三种情况：(1)圆心在平行弦外，(2)在其中一条线弦上，(3)在平行弦内，但理由相同．
．课堂小结。
1．本节课我们探索了圆的对称性．
2．利用圆的轴对称性研究了垂径定理及其逆定理．
3．垂径定理和勾股定理相结合，构造直角三角形，可解决计算弦长、半径、弦心距等问题．
．课后作业。
一)课本p93，习题
二)1．预习内容：p94～97
2．预习提纲：
1)圆是中心对称图形．
2)圆心角、弧、弦之间相等关系定理．
．活动与**。
1．银川市某居民区一处圆形下水管道破裂，修理人员准备更换一段新管道．如图所示，污水水面宽度为60cm，水面至管道顶部距离为10cm，问修理人员应准备内径多大的管道？
过程]让学生在**过程中，进一步把实际问题转化为数学问题，掌握通过作辅助线构造垂径定理基本结构图，进而发展学生的思维．
结果]如下图示，连结oa，过o作oe⊥ab，垂足为e，交圆于f，则ae＝ab＝30cm．令⊙o的半径为r，则oa＝r，oe＝of－ef＝r－10．在rt△aeo中，oa2＝ae2＋oe2，即r2＝302＋(r－10)2．解得r＝50cm．修理人员应准备内径为100cm的管道．
第二课时。一、引入新课。
上节课我们一起认识了圆及圆的有关概念，我们做如下练习。
指出图中所有的弦和弧：
这节课我们继续认识圆中的弦与弧，**它们之间的关系。
二、观察与思考。
让学生做如下操作：
在两张半透明的纸上，分别画出半径相等的⊙o1，⊙o2及相等的两条弦ab，cd，，把两张纸叠放在一起，使⊙o1与⊙o2重合，固定圆心，将一张纸绕圆心旋转适当角度，使弦ab和弦cd重合。
回答：与是什么关系？
思考： （1）在等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的弦相等吗？
2）在同圆中，相等的弦所对的弧相等吗？等弧所对的弦呢？
由此你能得出什么结论？
学生通过动手发现弦、弧之间的关系：
在同圆或等圆中，相等的弧所对的弦相等；相等的弦所对的优弧和劣弧分别相等。
三、一起**。
1）在纸上画出一个圆，并画出任意一条直径及与该直径垂直的一条弦；
2）将⊙o沿cd所在的直线对折，哪些线段重合？哪些弧重合？由此你得出什么结论？
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