九年级数学期末复习三《二次函数3》

考点九：二次函数的综合应用。

类型1】面积叠合问题。

2.如图，二次函数的图象与x轴交于点a(-3，0)和点b，以ab为边在x轴上方作正方形abcd，点p是x轴上一动点，连接dp，过点p作dp的垂线与y轴交于点e.（1）请直接写出点d的坐标：

__2）当点p**段ao（点p不与a、o重合）上运动至何处时，线段oe的长有最大值，求出这个最大值。

3）是否存在这样的点p，使△ped等腰三角形？若存在，请求出点p的坐标及此时△ped与正方形abcd重叠部分的面积；若不存在，请说明理由。

类型2】等面积问题。

如图，抛物线经过（，0）、（3，0）、（0，3）三点，对称轴与抛物线相交于点、与直线相交于点，连接。

1）求该抛物线的解析式；

2）抛物线上是否存在一点，使与的面积相等，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由；

3）在第一象限、对称轴右侧的抛物线上是否存在一点，使与的面积相等，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由。

类型3】动态问题。

如图，等边的边长为12，点、分别在边、上，且，若点从点开始以的速度沿射线方向运动，设点运动的时间为秒，当时，直线与过点且平行于的直线相交于点，的延长线与的延长线相交于点，与相交于点。（1）设的面积为（），求和的函数关系式；（2）在点运动过程中，试猜想的面积是否变化，若不变，求其值；若变化请说明理由。（3）请直接写出为何值时，点和点是线段的三等分点。

类型4】极值问题。

1.已知抛物线与轴交于、两点，与轴交于点。

1）求此抛物线的顶点坐标，对称轴及、、的坐标；

2）设施线段上的动点，作交于，连接，当的面积是面积的2倍时，求点的坐标；

3）若为抛物线上、两点之间的一个动点，过点作轴的平行线，交于，当点运动到什么位置时，线段的值最大？并求此时点的坐标。

2. 如图，为等腰直角三角形斜边上的一个动点（与、均不重合），连接，以为一边作等腰直角三角形，为斜边，连接。（1）求证：

；（2）设，。当的面积为1.5时，求的值； ②试问：

的面积是否存在最大值？若存在，请求出这个最大值，并指出此时的取值；若不存在，请说明理由。

类型5】二次函数与相似形。

如图，抛物线的顶点为m，与x轴交于另一点n，连结om，mn，点p是线段om上任意一点，过点p作矩形pacb，其中点b在mn边上，点a，c在x轴上，连接pc.

1）求点m，n的坐标；

2）设点p的横坐标为a，矩形pacb的面积为s.

试求s关于a的函数关系式和自变量a的取值范围；

试求当矩形pacb的面积最大时点p的坐标。

3）点p**段om上运动的过程中，是否存在某一位置，使得△opc和△omn相似？若存在，请求出点p的坐标；若不存在，请说明理由。

类型6】平行四边形（菱形）的存在性问题。

1.已知经过原点的抛物线(如图所示)与x的另一交点为a，现将它向右平移m（m>0）个单位长度，所得抛物线与x轴交于c、d点，与原抛物线交于点p

1)求点p的坐标(可用含m式子表示);

2)设△pcd的面积为s，求s关于m关系式；

3)过点p作x轴的平行线交原抛物线于点e，交平移后的抛物线于点f.请问是否存在m，使以点e、o、a、f为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由。

2. 如图，已知抛物线y＝－x2+bx+c与直线l相交于点a(－1，0)，c(2，3)两点，与y轴交于点n，抛物线的顶点为d.

1）求抛物线及直线l的函数关系式；

2）设点m(3，m)，求使mn+md的值最小时m的值；

3）若抛物线的对称轴与直线l相交于点b，e为直线l上的任意一点，过点e作ef∥bd交抛物线于点f，以b、d、e、f为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，求点e的坐标；若不能，请说明理由。

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