典型例题。
例1.1 用甲胎蛋白法诊断肝癌，灵敏度（即癌症患者检测结果呈阳性的概率）是95%、特异度（即正常人检测结果呈阴性的概率）是90%。如果在例行检查（譬如单位每年一度的体检）中，某人的检验结果是阳性，试问：
他应该沮丧到什么程度？
答案是令人惊讶的，他甚至应该保持谨慎乐观的态度。
为什么呢？我们只须计算出检验结果是阳性的条件下他患肝癌的概率就可以了。
令a=，b= ，则。
现在已知的只是癌症患者检测结果呈阳性的概率和正常人检测结果呈阴性的概率，为了利用bayes公式计算检验结果是阳性的条件下他患肝癌的（后验）概率，还需要知道人群中肝癌的罹患率。根据广州市近年来的调查资料，我们可以假设人群的肝癌发病率大约为0.04%，即，则由bayes公式得到他患肝癌的条件概率为。
这么小的概率自然不值得他担心。
例2.1 设连续随机变量x的概率密度为：
求：（1）常数；（2）x落在区间内的概率。
解] （1）由概率密度的性质，有。
故。2）由概率计算公式知，所求概率为。
例2.2 已知2023年广东省高考文科报考人数是24.7万人，本科计划招生5.
8万人，本科录取率为23.4%。如果广东省高考文科总分服从正态分布，试问最低控制分数线应是多少，才能使得高校在录取新生时有多10%的选择机会？
[解] 设最低控制分数线为m，要使得高校在录取新生时有多10%的选择机会，只须。
例3.1 设袋中有2个白球和3个黑球，每次从其中任取1个球，直至取到白球为止，分别就（1）不放回取球与（2）有放回取球两种情形。
计算取球次数的数学期望、方差与标准差。
解设与分别表示情形（1）与（2）的取球次数，则不难知道，的概率分布表为：
从而相应的数学期望为 ；
又，故；。而y的概率分布为：，，即，从而；；。
例3.2 设随机变量，求随机变量函数的数学期望。
与方差。解由定理3.2即知。
故。例4.1 某工厂有200台同类型的机器，每台机器工作时需要的电功率为q千瓦。
由于工艺等原因，每台机器的实际工作时间只占全部工作时间的75%，各台机器是否工作是相互独立的。求：
1）任一时刻有144至160台机器正在工作的概率；
2）需要**多少电功率能保证所有机器正常工作的概率大于0.99?
解设事件a表示机器工作，则可把200台机器是否工作视作200重贝努利试验。设表示任一时刻正在工作的机器数，则。
1）由de moivre -laplace中心极限定理知。
2）设任一时刻正在工作的机器数不超过m，则题目要求。
即有 ，故，取，即需要**165q千瓦的电功率。
例5.1 设样本取自泊松分布，求。
1）样本均值的数学期望与方差；
2）样本方差的数学期望。
解： 因为，故。
例5.2 设总体服从正态分布，从中抽取容量为9的样本，求的概率。
解： 因为，所以。
故所求概率为。
例6.1 设总体，。求参数的矩估计和最大似然估计，并说明它们是否为参数的无偏估计。
解： 因为，故有矩法方程：。
解之得的矩估计是。
设样本观测值为，则似然函数为。
故。有似然方程。
解之得的最大似然估计值为，最大似然估计是。
因为，所以参数的矩估计和最大似然估计都是无偏估计。
例6.2 设总体，求未知参数的矩估计及最大似然估计，并说明矩估计是否为无偏估计。
解： 因为，所以有矩法方程：.
解之得θ的矩估计为。
因为，所以参数的矩估计是无偏估计。
设样本观测值为，则似然函数为。
其中，为示性函数。当时，；而当时，为的严格单调递减正函数，故的最大似然估计值为，最大似然估计是。
例7.1 已知某种电子元件的平均寿命为3000小时。采用新技术后抽查20个，测得电子元件寿命的样本均值小时，样本标准差小时。
设电子元件的寿命服从正态分布，试问采用新技术后电子元件的平均寿命是否有显著提高？(取显著性水平)
解： 设电子元件的寿命，依题意，要检验的假设是。
因为未知，所以应选取统计量；在显著性水平下的拒绝域为。
计算统计量t的观测值得： 。因为，所以在显著性水平下，拒绝原假设，接受备择假设，即可认为采用新技术后电子元件平均寿命显著提高。
例7.1 某工厂在正常情况下生产电灯泡的使用寿命（单位：小时）服从正态分布。
某天从该厂生产的一批灯泡中随机抽取10个，测得它们的寿命均值小时。如果灯泡寿命的标准差不变，能否认为该天生产的灯泡的寿命均值小时？
解：已知总体，且，要求检验下面的假设。
称假设为原假设（或零假设），称假设为备择假设。假设检验的目的就是要在原假设与备择假设之间选择其一：若拒绝原假设，则接受备择假设；否则就接受。
为此，必须先从样本出发，构造一个合适的检验统计量与拒绝域，然后根据样本观测值作判断：当时拒绝原假设，接受备择假设；否则接受原假设。
我们知道，样本均值是总体均值的“好”的估计，可以选取作为检验统计量；根据备择假设，拒绝域应该形如，其中临界值由下式确定：，为给定的显著性水平。
由定理5.1（1）知，，于是。
因此，故。取显著性水平，拒绝域为。
其中。现在抽样检查的结果是，即样本观测值落入拒绝域，因此，应当拒绝原假设，接受备择假设，即认为该天生产的灯泡的寿命均值小时。
二、试题类型与分数比例：
参见下面的模拟试题。
注：一、 选择题（每小题3分，共15分）：
1． 如果，，，则（ ）
a) ;b) ;c) ;d) .
答案：d2． 概率函数为，的分布称为（ ）
a) “0-1”分布； (b) 几何分布； (c) 二项分布； (d) 泊松分布。
答案：d3． 设随机变量，，且与相互独立。令，则的方差为（ ）
a) 5/4; (b) 3/4; (c) 5; (d) 3/2.
答案：a4． 设随机变量，则线性函数服从分布（ ）
a) ;b) ;
c) ;d)
答案：b 5． 假设样本来自总体，则样本均值与样本方差独立的一个充分条件是总体服从（ ）
a) 二项分布； (b) 几何分布； (c)正态分布； (d) 指数分布。
答案：c二、 填空题（每小题3分，共15分）：
1. 如果，则（ ）
答案： 2. 设二维离散随机变量的联合概率函数为，i=1,2,…,m,…；j=1,2, …n, …则（ ）
答案：13. 设离散随机变量的概率函数为，，则随机变量函数的数学期望为（ ）
答案： 4. 记标准正态分布的分布函数为。如果正态随机变量，则落在区间的概率为（ ）
答案： 5. 设样本来自正态总体，样本均值为，则服从的分布是（ ）
答案： 三、 判断题（每小题2分，共10分）：
1． 如果事件b与事件a独立，那么b的对立事件也与a独立。
答案：√2． 设二维连续随机变量的联合概率密度为，则落在平面某可测区域的概率为。
答案：√3． 离散随机变量的方差一定存在。
答案：╳4． 如果与线性无关，那么与相互独立。
答案：╳5． 在统计学中，总是从研究对象中抽取部分观测以取得信息，从而对整体做推断。
答案：√四、 计算题（第1小题10分，第2小题15分，共25分）：
1． 设总体的密度函数为，是未知参数；是来自的一个样本，试求参数的最大似然估计。
解] 设样本观测值为，则似然函数为。
4分。故5
有似然方程8分。
解之得的最大似然估计是10
2． 发报台分别以概率0.6及0.4发出信号“·”及“-”由于通讯系统受到干扰，当发出信号“·”时，收报台以概率0.
8及0.2收到信号“·”及“-”又当发出信号“-”时，收报台以概率0.9及0.
1收到信号“-”及“·”试问：当收报台收到信号“-”时，发报台确系发出信号“-”的概率是多少？
解] 记a=，b=，则。
8分。15分。
五、 应用题（第小题各10分，第3小题15分，共35分）：
1． 已知2023年广东省高考文科报考人数是24.7万人，本科计划招生5.8万人，本科录取率为23.
4%。如果广东省高考文科总分服从正态分布，试问最低控制分数线应是多少，才能使得高校在录取新生时有多10%的选择机会？
[解] 设最低控制分数线为m，要使得高校在录取新生时有多10%的选择机会，只须。
2分。6分。
7分。9分。
10分。2． 据**，国际市场每年对我国某种出口商品的需求量（单位：吨）在区间[300，500]上服从均匀分布。
此商品每出口1吨，可获利1.5万元；但是每积压1吨，将亏损0.5万元。
如果由某公司独家经营这种商品的出口业务，问该公司应当储备多少这种商品才能使所获的平均利润最大？
解] 设该公司应当储备这种商品a吨，显然1分。
则所获利润为。
因为需求量的概率密度是。
所以平均利润为。
当时，所获利润的数学期望最大。
3． 某工厂原来生产的电灯泡的平均使用寿命是1600小时。采用新技术后随机抽查17个，测得它们的寿命的样本均值小时，样本标准差s=100小时。设电灯泡的寿命服从正态分布，试问采用新技术后电灯泡的平均寿命是否有显著提高？
（显著性水平）
解] 已知总体，要求检验下面的假设。
3分。应选取统计量7分。
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