一、概率的定义、性质和计算。
重点：概率论的定义和计算。
概率论是研究偶然现象的内在统计规律的一门学科； 数理统计是研究如何收集数据、整理数据、分析数据的应用数学学科。
一） 随机事件与样本空间
1．随机试验。
定义1 满足下列条件的试验称为随机试验( 用e表示)
在相同的条件可以重复进行；
每次试验的结果有多个，并且事先知道所有可能发生的结果；
每次试验的具体结果不能事先确定；
2．随机事件。
定义2 在一次试验中可能出现也可能不出现的结果或事件叫随机事件，简称为事件，用大写字母表示。
基本事件(样本点)：不能再分或没有必要再分的事件。
样本空间：全体基本事件组成的集合，可记为。
必然事件：一定会发生的事件。（样本空间）.
不可能事件：每次试验都不可能发生的事件，称为。
注一次试验中有且只有一个基本事件发生；随机事件发生当且仅当所包含基本事件之一出现。
3．随机事件的关系和运算。
事件的关系：（1）包含关系 （2）互斥（互不相容）：
事件的运算：（1）事件的并（和）（2）事件的交（3）事件的差（4）事件的逆（对立事件，余事件）
事件的运算规律：（略）交换律：混合律：分配律：德。莫根律：。
二） 概率的定义和性质。
定义 1 随机试验e，随机事件a在一次试验中可能出现也可能不出现，在相同条件下试验n次，事件a发生r次，则称为事件a发生的频率。
定义2 （概率的统计定义）在相同条件下重复n次试验，当n很大时，事件a发生的频率在一个常数附近摆动，并且随n的增大，这种摆动“大致上”越来越小，我们称这个常数为事件a的概率，记为。概率实质上是频率的稳定值（）。
频率的性质：
1)（非负性）；
2) （规范性）
3）； 有限相加性）
根据频率的性质及概率的统计定义， 我们给出概率的公理化定义。
定义3 （概率的公理化定义）是随机试验，是样本空间，对于任意的事件，定义一个实的集函数，满足。
1) （非负性）
2） （规范性）；
3） 对于可列个两两互斥的随机事件…,有： 。可列可加性）。
则称为事件发生的概率。
概率的性质：
性质1. 性质2 (有限可加性） 设是互斥的事件，则。
性质3 性质4
性质5 三） 古典概型与几何概型。
1、古典概型。
定义4 称满足下列条件的概率问题为古典概型：
1） 所有可能结果只有有限个（设为n），即样本空间只有有限个基本事件；
2） 每个基本事件发生的可能性相同，即等可能发生。
于是可得古典概型的计算公式。
其中是a中含基本事件的个数。
2、 几何概型。
实验的结果有无穷多个，每个结果出现的可能性相同的概率问题就是所谓的几何概型问题。
设某一随机实验的样本空间是欧氏空间的某一区域（可以是一维空间的一段线段，二维空间的一块平面区域，三维空间的某一立体区域甚至是维空间的一区域），基本事件就是区域的一个点，且在区域内等可能出现，设是中的任一区域，基本事件落在区域的概率为。
其中表示度量（一维空间中表示长度，二维空间中是面积，三维空间中是体积等等）。
四） 条件概率。
定义1 设、是随机试验的两个条件，，则称为事件发生的条件下，事件的条件概率。
由条件概率的定义，得到当时；
当时。复杂问题可以转化为一些简单问题，例如一批产品分别来自甲、乙、丙三个厂，要求它的次品率，可以先求出甲、乙、丙三厂的次品率分别是多少，然后求这批产品的次品率。上述问题的直观解释是：
多“原因”都可能导致某一“结果”发生，求“结果”发生的概率（称此概率模型为“多原因一结果”型）；再如盒子中有黑白两类球，进行不放回摸球两次，求第二次摸到黑球的概率，可先求出第一次取到黑球时，第二次摸到黑球的概率以及第一次取到白球时，第二次摸到黑球的概率，再求第二次摸到黑球的概率，此问题的直观解释：试验分为两步：求第二步某个随机事件发生的概率（称此概率模型为“两步型”）。
对于上述两类问题，从概率上表达它们发生可能性之间关系的一个公式就是全概率公式。
定义2 设有样本空间，是样本空间的个事件，满足。
则称是的一个有限剖分（完备事件组），且记。
定理1（全概率公式） 设是样本空间的一个剖分，，；对任意事件，有 。
全概率公式告诉我们怎样在已知“原因”发生的概率的情况下求“结果”的概率。有时需考虑其逆问题：已知“结果”发生，问在这一条件下，各“原因”发生的条件概率是多少？
下面我们给出求的公式―――贝叶斯（bayes）公式或逆概率公式。
定理2 设是样本空间的一个剖分，，；对任意正概率事件，有。
五） 事件的独立性。
引例袋中装有个黑球，个白球，进行有放回摸球两次，a表示“第一次摸到黑球”，b表示“第二次摸到黑球”，经计算可知。 即无论事件a发生与否对事件b的发生没有影响，这在直观上很显然。一般情况下，和不一定相同，即事件a发生与否对事件b发生的概率可能是有影响的。
上面的例子说明，如果没有影响，就应当有，由条件概率的定义我们有，, 所以有以下定义。
定义1 设事件a和事件b是同一样本空间的任意两个随机事件，若它们满足。
则称事件a和事件b相互独立，简称独立。
定理1 若四对事件四对事件中有一对独立，则其余三对也独立。
定义2 三个事件相互独立当且仅当它们满足下面四条：
由上面的定义可知由三个事件相互独立，可得出三个事件之间两两独立，但由三个事件之间两两独立，得不出三个事件相互独立。
一般地，是个随机事件，如果对任意个事件相互独立，则称相互独立。
例1 甲、乙、丙独立地向同一飞机射击，设甲、乙、丙的命中率分别为，又设恰有一人，二人，三人击中飞机后，飞机坠毁的概率分别为，今三人向飞机独立射击一次，求飞机坠毁的概率。
解设表“恰有个人击中飞机”
表“飞机坠毁”;分别表示甲、乙、丙击中飞机。显然是样本空间的一个剖分，而。
由题意得，相互独立，且。
所以。又由题意知， 由全概率公式可得。
贝努利概型：
定义3 把符合下列条件的次试验称为重贝努利概型（也叫重独立试验）：
1）每次试验的条件都一样，且可能的试验结果只有和，
2）每次试验的结果互不影响，或相互独立。
定理2 在重贝努利概型中事件发生次的概率为。
二、随机变量的分布律和数字特征。
一) 一维随机变量。
重点：随机变量定义，分布函数的概念、随机变量分布律、常见的随机变量的分布律。
1．随机变量的概念。
基本事件有的是数量性质的，有的不是数量性质，为了更全面，更深入地研究随机现象，需把试验结果数量化，即在基本事件与数之间建立一种对应关系，并称这种对应关系为随机变量。
定义1 设是随机试验，是其样本空间，如果对于每一个，有一个确定的实数与之对应，则称为随机变量。
例 1 将一枚硬币连抛两次，用分别表示正面、反面，其样本空间为。
用表示出现正面的次数，则。显然为一随机变量。我们可以通过随机变量来描述中的随机事件，如表示“出现两次正面”这一事件，表示“出现了一次或没有出现正面”这一事件，显然有。
2．分布函数。
由于随机变量的所有可能取值不一定能一一列举出来，如用随机变量表示电视机的寿命时，的取值为全体正实数，因此， 为了研究随机变量取值的概率规律，需研究随机变量的取值落在某个区间。
的概率。由。
可知，对任意给定的实数x，事件的概率确定了，概率也就确定了，而概率随着的变化而变化，它是x的函数，我们称之为随机变量的分布函数。
定义2 设是一个随机变量，对任意的，称函数为随机变量的分布函数。
分布函数性质：
2)是的不减函数，即若，则；
4)关于是右连续的。
3．离散型随机变量。
定义3 若随机变量可能取值的数目是有限个或可列无限个，则称是离散型随机变量。的可能值可写成，在有限的情形，这个序列至某一项结束。
对于离散型随机变量，我们感兴趣的是它的可能取值是什么和以多大概率取每一个值。为此，我们定义。
定义4 若离散型随机变量的取值为的概率为。
则称为离散型随机变量的概率分布或分布律。分布律也可写成下列的**形式：
由概率的定义，必须满足下列两个条件：
4．连续型随机变量。
离散型随机变量并不能描述所有的随机试验，对于可在某一区间内任意取值的随机变量，用于它的值不是集中在有限个或可列个点上，因此只有知道其取值于任一区间上的概率（其中，为任意实数），才能掌握它的取值概率分布情况。对于这种取值非离散型的随机变量，其中有一类很重要也很常见的类型，就是所谓的连续型随机变量。
定义1 设随机变量的分布函数为，若存在非负函数，使得对任意实数有，则称为连续型随机变量，称为的概率密度。
注：易知连续型随机变量的分布函数是连续函数。
有如下性质：
1）（非负性）；
2）（归一性）；
4) 若在点连续，则有。
5）为连续型随机变量，则。由此可知若是不可能事件，则，反之，若，则不能推出是不可能事件；同理，若是必然事件，则，反之，若，则不能推出是必然事件。
5．六个常见分布。
1）两点分布或分布。
若在一次随机试验中随机变量只能取0或1两个值，且它的分布律为，则称随机变量服从两点分布或分布。易知的分布律为。
两点分布可以作为描述试验只有两个基本事件的数学模型。若一个试验只关心某事件发生或其对立事件发生的情况，都可用一个服从分布的随机变量来描述。
2）二项分布。
在重贝努利试验中，若事件在每次试验中发生的概率均为，即，则恰好发生次（）的概率为。令表示重贝努利试验中事件发生的次数。可见是一个随机变量，它的可能取值为，其分布律为。
则称服从参数为的二项分布，记作。
容易看出，当时，二项分布就是(0-1)分布，因而(0-1)分布是二项分布的特殊情况。
二项分布是一类非常重要的分布，它用于描述重贝努利试验中，恰好发生次的概率这种数学模型。
概率论1 1概率论随机事件及其运算
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