第一章随机事件与概率。
2、设、、为三个事件，试表示下列事件：
1)、、都发生或都不发生；
2)、、中至少有一个发生；
3)、、中不多于两个发生。
解：(1)；(2)；(3)或。
3、在一次射击中，记事件为“命中2至4环”、为“命中3至5环”、为“命中5至7环”，写出下列事件：(1)；(2)；(3)；(4).
解：(1)为“命中5环”；(2)为“命中0至1环或3至10环”；
3)为“命中0至2环或5至10环”；(4)为“命中2至4环”.
5、从一副52张的扑克中任取4张，求下列事件的概率：
1)全是黑桃；(2)同花；(3)没有两张同一花色；(4)同色？
解：从52张扑克中任取4张，有种等可能取法。(1)设为“全是黑桃”，则有种取法，于是；(2)设为“同花”，则有种取法，于是；(3)设为“没有两张同一花色”，则有种取法，于是；(4)设为“同色”，则有种取法，于是。
6、把12枚硬币任意投入三个盒中，求第一只盒子中没有硬币的概率？
解：把12枚硬币任意投入三个盒中，有种等可能结果，记为“第一个盒中没有硬币”，则有种结果，于是。
7、甲袋中有5个白球和3个黑球，乙袋中有4个白球和6个黑球，从两个袋中各任取一球，求取到的两个球同色的概率？
解：从两个袋中各任取一球，有种等可能取法，记为“取到的两个球同色”，则有种取法，于是。
8、把10本书任意放在书架上，求其中指定的三本书放在一起的概率？
解：把10本书任意放在书架上，有种等可能放法，记为“指定的三本书放在一起”，则有种放法，于是。
11、甲乙两艘轮船驶向一个不能同时停泊两艘轮船的码头，它们在一昼夜内到达的时间是可能的，若甲船的停泊时间为一小时，乙船的停泊时间为两小时，求它们中任何一艘都不需要等候码头空出的概率？
解：设、分别为甲、乙两艘轮船到达码头的时间，则，其面积，记为“它们中任何一艘都不需要等候码头空出”，于是，其面积，从而。
14、从这十个数字中任选三个不同的数字，试求下列事件的概率：
1)为“三个数字中不含０和５”；
2)为“三个数字中不含０或５”；
3)为“三个数字中含０但不含５”？
解：记为“三个数字不含０”、为“三个数字不含５”，则。
于是有。
15、某工厂的一个车间有男工7人、女工4人，现要选出3个代表，求选出的3个代表中至少有1个女工的概率？
解：设为“选出的3个代表中至少有1个女工”，则。
16、从数字中重复地取次，求次所取数字的乘积能被10整除的概率？
解：记为“至少取到一次５”、为“至少取到一次偶数”，则。
于是，所求概率为。
17、已知事件、满足，记，求？
解：由。18、已知，，求？
解：由和。20、某班级在一次考试中数学不及格的学生占15％，英语不及格的学生占5％，这两门课都不及格的学生占3％.
1)已知一个学生数学不及格，他英语也不及格的概率是多少；
2)已知一个学生英语不及格，他数学也不及格的概率是多少？
解：记为“数学不及格”、为“英语不及格”，则。
22、设10件产品中有4件不合格品，从中任取二件，已知其中一件是不合格品，求另一件也是不合格的概率？
解：记为“第次取出不合格品”，为“有一件不合格品”，为“另一件也是不合格品”，则，于是。
23、已知、、，求？
解：由、、再由。
从而。24、两台车床加工固焊零件，第一台出次品的概率是0.03，第二台出次品的概率为0.06，加工出来的零件放在一起且已知第一台加工的零件比第二台加工的零件多一倍。
1)求任取一个零件是合格品的概率；
2)如果取出的零件是不合格品，求它是由第二台车床加工的概率？
解：记为“取到第一台车床加工的零件”、为“取到合格品”，则。
25、已知男人中有5％是色盲患者，女人中有0.25％是色盲患者，现从男女人数相等的人群中随机挑选一人，发现恰好是色盲患者，问此人是男人的概率是多少？
解：记为“选到色盲患者”、为“选到男人”，则。
于是，所求概率为。
28、甲乙两人独立地对同一目标射击一次，其命中率分别为0.6和0.7，已知目标被击中，求它是甲击中的概率？
解：记为“目标被击中”、为“甲击中目标”、为“乙击中目标”，则。
再由可得所求概率为。
29、设电路由、、三个元件组成，若元件、、发生故障的概率分别是.2，各元件独立工作，求下列三种情况下电路发生故障的概率。
1)、、三个元件串连；(2)、、三个元件并联；(3)与并联后再与串联？
解：记、、分别表示元件、、发生故障。
1)所求概率为。
2)所求概率为。
3)所求概率为。
30、若、，在下列情况下求。
1)、不相容；(2)、独立；(3)？
解：(1)由于、不相容，从而，于是；
2)由于、独立，从而，于是。
3)由于，从而，于是。
第二章随机变量及其分布。
习题解答。a组。
2、下列函数是否是某个随机变量的分布函数？
解：(1) 显然是单调不减函数；，且、；，故是某个随机变量的分布函数。
2) 由于，故不是某个随机变量的分布函数。
3、设的分布函数为。
求常数及？解：由和得。
4、设随机变量的分布函数为。
求常数及？解：由得。
5、设随机变量的分布列为。
求常数？解：由得。
6、一批产品共有100个，其中有10个次品，求任意取出的5个产品中次品数的分布列？
解：设表示5个产品中的次品数，则是离散型随机变量，其所有可能取值为，且。
于是的分布列为。
7、设10件产品中有2件次品，进行连续无放回抽样，直至取到**为止，以表示抽样次数，求。
1)的分布列；
2)的分布函数？
解：(1) 由题意知是离散型随机变量，其所有可能取值为，且。
于是的分布列为。
2) 由(1)可知的分布函数为。
8、设随机变量的分布函数为。
求的分布列？
解：的分布列为。
9、某大楼装有5个同类型的供水设备，调查表明在任一时刻每一设备被使用的概率为0.1，求在同一时刻。
1) 恰有2个设备被使用的概率；
2) 至少有3个设备被使用的概率；
3) 至多有3个设备被使用的概率？
解：设表示被同时使用的供水设备数，则。
1) 恰有2个设备被使用的概率为。
2) 至少有3个设备被使用的概率为。
3) 至多有3个设备被使用的概率为。
11、设某城市在一周内发生交通事故的次数服从参数为0.3的泊松分布，求。
1) 在一周内恰好发生2次交通事故的概率；
2) 在一周内至少发生1次交通事故的概率？
解：设表示该城市一周内发生交通事故的次数，则。
1) 在一周内恰好发生2次交通事故的概率。
2) 在一周内至少发生1次交通事故的概率。
12、设服从泊松分布，已知，求？
解：由得。13、一批产品的不合格品率为0.02，现从中任取40件进行检查，若发现两件或两件以上不合格品就拒收这批产品，分别用以下方法求拒收的概率：
1) 用二项分布作精确计算；
2) 用泊松分布作的似计算？
解：设表示抽取的40件产品中的不合格品数，则。
1) 拒收的概率为。
2) 由于，于是拒收的概率为。
14、设随机变量的密度函数为。
求的分布函数？
解：由得。当时。
当时。当时。
于是所求分布函数为。
15、设随机变量的密度函数为。
求的分布函数？
解：由得。当时。
当时。当时。
于是所求分布函数为。
16、设随机变量的密度函数为。
求(1) 常数；(2)的分布函数；(3)？
解：(1) 由得。
2) 当时。
当时。当时。
于是所求分布函数为。
17、设随机变量的分布函数为。
求(1)、、2)的密度函数？
解：(1)
2) 由于在的可导点处，有，于是的密度函数为。
19、调查表明某商店从早晨开始营业起直至第一个顾客到达的等待时间(单位：分钟)服从参数为的指数分布，求下述事件的概率。
1)至多3分钟；
2)至少4分钟；
3)在3分钟至4分钟之间；
4)恰为3分钟？
解：(1)至多3分钟的概率为。
2)至少4分钟的概率为。
3)在3分钟至4分钟之间的概率为。
4)恰为3分钟的概率为。
20、设，求下列事件的概率；；？
解：；21、设，(1) 求、、；2) 确定，使得；(3) 若满足，则至多为多少？
解：(1)
2) 由得。
3) 由得。
22、从甲地飞住乙地的航班，每天上午10:10起飞，飞行时间服从均值为，标准差为的正态分布。
1) 该航班在下午2:30以后到达乙地的概率；
2) 该航班在下午2:20以前到达乙地的概率；
3) 该航班在下午1:50至2:30之间到达乙地的概率？
解：(1) 该航班在下午2:30以后到达乙地的概率为。
2) 该航班在下午2:20以前到达乙地的概率为。
3) 该航班在下午1:50至2:30之间到达乙地的概率为。
23、某地抽样调查结果表明，考生的外语成绩(百分制)近似地服从，已知96分以上的人数占总数的2.3%，试求考生的成绩在60分至84分之间的概率？
解：设考生的外语成绩为，则。
由96分以上的人数占总数的2.3%得。
于是，考生的成绩在60分至84分之间的概率为。
24、设随机变量的分布列为。
求的分布列？
解：由的分布列可得。
于是的分布列为
25、设随机变量的分布列为。
求的分布列？
解：由的分布列可得。
将相同值合并得的分布列为
26、设随机变量的密度函数为。
求随机变量的密度函数？
解：由题意知，当时，有。
当时，有。当时，有。
即的分布函数。
于是，的密度函数。
27、设随机变量，求随机变量的密度函数？
解：由题意知，当时，有。
当时，有。当时，有。
即的分布函数。
于是，的密度函数。
28、随机变量的密度函数为。
求随机变量的密度函数？
解：由于，故当时，有；
当时，有。即的分布函数。
于是，的密度函数。
29、设随机变量，试求随机变量的密度函数？
解：由于，故当时，有；
当时，有。即的分布函数。
于是，的密度函数。
11、设随机变量的分布函数为。
概率论答案
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