第一讲函数、方程、不等式。
函数是描述变量之间相互关系的重要模型，高中阶段把函数看成变量之间的依赖关系，同时还用集合与对应语言加以刻画。函数思想与方法贯穿高中课程的始终。无论是高考还是自主招生考试，均把函数部分列为重点内容，无论从数量还是质量上都占有较大比例。
在复习的过程中应系统的归纳高中数学阶段所学函数的基本性质，这样才会对我们加深函数概念的理解有所帮助。与此同时，还应总结研究一般函数的方法，以便帮助我们提高研究函数性质的能力。
在自主招生中，有关函数的问题大约占到总分的20℅—30℅，其中的热点问题有：
1）函数的概念问题；
2）函数迭代；
3）简单的函数方程；
4）函数的极值、最值、值域问题；
5）函数图象与性质（有界性）；
6）方程根的问题；
一、函数的概念。
函数概念中最重要的是对变量与对应法则（具体函数表现为运算法则）的理解，自变量用哪一个字母来表示并不重要，同一字母在不同的表达式中意义也不一定相同；对应法则的运算对象并不一定是（如：对于函数①，当我们研究函数的性质时，应将①式中的视为自变量，而在研究函数②的性质时，应将①式中的整体视为自变量，①、两式中同一字母的意义并不一致，实际上①式中与②式中都作为同一对应法则的运算对象，取值自然都受的制约）。
2.若且，则。
3．（04交大）已知记，且，则
4．设，记， 则=．
解法1：，则。
归纳可得=5.已知，对任意，定义，若，则。
解，由，，即，依次可得。
6．记，则（ ）
a． b． c． d．
7．已知记，若，则。
解：，同理。
综上有，故。
法2。三、函数方程。
4．（联赛初试）设，求。
解：令，则，故可在原式中取有。
由①②③得
5. （联赛）求解函数方程：，解：令则，于是原式即为 ①
中换成有：②
中换成有：③
中换成有：④
同理有：⑤+④+2②得：
6．（07清华），求。
解：由题意，，
累加得。所以。
7．（06复旦）在上单调增，且对于任意有，证明：存在这样的常数k，使得在恒成立。
解：设则依此类推可用数学归纳法可证，设，且，设。
则，所以，即时，对任意且是无理数时，则必存在两个无限接近的有理数，使得，由在上单调递增，即，由于从两边无限接近，故。
综上，存在这样的常数k，使得在恒成立。
11.（06复旦）构造函数，其定义域为（0，1），值域为[0,1]满足。
1）对于，只有一个解；
2）对于，有无穷多一个解。
解法1：设， 下面构造满足条件。
1 将中有理数排序：先按分母排序，同分母按分子排序，则排序唯一（可数）：
2 再将[0,1]中有理数排序：0，1排在之前即0，1，
3 将1，2中排序的数字一一对应即，显然对。
只有一解。2）满足条件。
解法2：（1）
2）定义，由，对于先作映射，这样就把扩充到（0，1），再仿照（1）的定义。在此基础上构造一个值域为[0,1]的映射，注：其中第一问还可以这样构造。
练习2.（10南京）函数定义在上的减函数满足：
1）证明：；（2），解不等式。
解：取，有，再取，则，故，即。
2）由，则，所以，不等式等价于，得。
练习3．设函数，则。
解： 令，得．把y 改为 x 得。
联合（1）（2）消去，可得： ．
四、函数的极值、最值、值域问题。
单变量函数极值、最值、值域的主要研究方法是换元转化法和导数法。这类问题一般以间接考查为主。如以不等式有解、恒成立，求参数取值范围等。
对于多元变量的函数问题较复杂，主要是不等式法和逐步调整法。
4．（05交大）已知的最大值为9，最小值为1，求实数．
解：由得方程有解，当时，方程有解。
当时，又9，1为方程的根，得。
11.（2011北约）求函数的最小值。
解：引理1.对任意且，有不等式恒成立，等号成立的充要条件为；
引理2.对任意且，有不等式恒成立，等号成立的充要条件为；
引理3.一般地有，对任意，有个实数，且，有当时，函数取得最小值；若有个实数，且，有当时，函数取得最小值。
下面利用上面的引理求最小值。
注意到的零点为，则，当且仅当时取等；
当且仅当时取等；
当且仅当时取等；
为了确定函数取最小值的公共区间，需要寻找正整数（或最接近的最小正整数），使得，即，注意到，记，发现，，则，而，小于一半，二者之差为1202，即将原函数表达式按照上面的思路两两配对后，最后剩下的单独一项为，即取时，上面的所有等号都成立，原函数。
练习3．已知，若，则的值有（ ）
a．2个 b．3个 c．4个 d．无数个。
解：为偶函数，且时，又不等式解集中有无穷个数。
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