解：时均方程的定义：紊流运动的实验研究表明，虽然紊流结构十分复杂，但它仍然遵循连续介质的一般动力学规律，因此，雷诺在2023年提出用时均值概念来研究紊流运动。
他认为，紊流中任何物理量虽然都随时间和空间而变化，但是任一瞬时的运动仍然符合连续介质流动的特征，流场中任一空间点上应该适用黏性流体运动的基本方程。此外，由于各个物理量都具有某种统计学规律，所以基本方程中任一瞬时物理量都可用平均物理量和脉动物理量之和来代替，并且可以对整个方程进行时间平均运算。雷诺从不可压缩流体的连续性方程和n-s方程，导出紊流平均运动的连续性方程和动量方程（即雷诺方程）。
随后，人们引用时均值概念又导出了紊流平均运动的能量方程和紊动动能方程等，并且把它们推广到可压缩流体中，从而形成了目前广泛使用的一种经典紊流理论。
时均方程的封闭性问题：推导的时均流物理量的方程都是精确方程，因为推导过程中未作任何近似假设。但这些方程不再构成封闭的方程组：由于方程1） （2）
的非线性，对时间平均的过程引入了未知的脉动速度相关和速度-标量脉动相关。从物理意义分析，这两个相关如乘以密度，就分别表示紊动产生的动量输运和热（或物质）的输运。是方向的动量沿方向的输运或方向的动量沿方向的输运，对于流体的作用与应力相同，故被称为紊动应力或雷诺应力；是标量沿方向的输运，即紊动热（或物质）通量。
在大多数流动区域中，紊动应力和紊动通量比层流的应力和层流的通量大得多，因而可忽略层流应力和层流通量。
为了求解方程（5-18）至方程（5-20），得出速度、压力和温度（或浓度）的时均值，就必须确定紊动相关项和，这正是紊流计算的症结所在。为了封闭前面所得的方程组，比较切实可行的办法是引入紊流模型，用较低阶的相关或时均流的变量近似地表示一定阶数的相关。紊流模型描述紊动输运的规律，用以模拟实际紊流的时均性质。
紊流模型表示为微分方程或代数方程，这些方程与时均流方程（5-18）至（5-20）联立，组成封闭的方程组，便可求解紊流的速度场、压力场、温度场、浓度场。
解：在k方程，如果变化率项、对流输运项、扩散输运项均可忽略不计，则k的产生等于k的耗散，这样的紊动被称为处于当地平衡状态。对于无浮力的剪切层，k方程变为；
将上式代入柯莫哥洛夫-普朗特表达式，消去k，可得：
这是方程中引入的混合长公式，因为可将混合长视作乘以长度比尺l。这一推导清楚地表明，混合长模型只适合于紊动处于当地平稳状态的水流。
1）混合长假设忽略了紊动量的扩散输运。
由公式知，一旦速度梯度为零，和便相应为零。这与实际情况相悖。例如在管路和渠道水流中，中心线上为零，但的数值不为零，只比的最大值小20％左右。
幸运的是，中心线上的剪应力恰好为零，所以这种谬误对流场的计算影响不大。但在热输运计算中，中心线上值取零就会导致十分荒谬的结果，例如当热量从渠道的一侧传到另一侧时，如果中心线上为零，渠道的另一侧就永远得不到热量。事实上，在管路、明渠的水流中，紊流主要产生在近壁区，热量是通过紊动的扩散作用被输运到中心线。
混合长假设忽略了扩散输运，因而错误地认为在中心线得不到紊动。
2）混合长假设忽略了紊动量的对流输运。
网格后的均匀流，是均匀紊流的典型例子。网格的存在使得紊流在网格后形成尾迹，紊动由时均流的对流输运输送到下游，在下游形成均匀紊流。这种情况下，下游区域的时均流的流速均匀，若按混合长假设，应得出，从而得出下游无紊动的错误结论。
究其根源，是因为混合长假设中忽略了对流输运。
3)混合长模型缺少通用性。
混合长模型对于不同类型的水流需采用不同的经验常数，这是混合长理论中忽略了紊动量的扩散输运和对流输运的必然结果。混合长假设的要害，是将紊动处理为没有时间积累、没有空间输运，就地产生，就地消亡的当地平衡状态，这当然就会限制混合长假设的使用范围。
解：紊流模型可定义为一组方程（代数方程或微分方程），这组方程能确定时均流方程中的紊动输运项，从而封闭时均流方程组。根据紊流模型采用的微分输运方程的个数，将紊流模型划分为：
零方程模型、单方程模型、二方程模型和多方程模型。
零方程模型：普朗特在2023年提出的混合长假设，是第一个描述紊动粘性系数分布的紊流模型，亦堪称为第一个比较适宜的紊流模型。普朗特受到气体运动理论的启发，假设紊动粘性系数正比于时均速度和混合长。
混合长按照以下方式进行定义：设一流体团块，以其原有的时均流速运动，由于紊动，该团块在横向由位移到。在点，团块原有速度与周围介质时均速度之差为；如果在点的平均横向脉动速度恰好为，则距离定义为混合长。
对于剪力层，只有一个起主导作用的紊动应力和速度梯度，普朗特认为等于时均速度的梯度和混合长的乘积：。据此，并设比例常数为1，可将紊动系数写为：。这是著名的普朗特混合长假设。
这一假设将紊动粘性系数当地时均流速梯度联系起来，同时引入了未知参数混合长。
对于避免确定，卡门建议将与时均流速分布按照下式建立关系： 此式对于近壁水流可以得出较好的结果，但是缺少通用性。例如在射流和尾迹中，速度剖面含有拐点，由式得出无限大的混合长。
混合长理论至今仍被广泛地应用于各种水力计算，但其不可克服的固有的缺陷也更加深刻地被人们所认识。这主要表现在以下几个方面：
1）混合长假设忽略了紊动量的扩散输运。
由公式知，一旦速度梯度为零，和便相应为零。这与实际情况相悖。例如在管路和渠道水流中，中心线上为零，但的数值不为零，只比的最大值小20％左右。
幸运的是，中心线上的剪应力恰好为零，所以这种谬误对流场的计算影响不大。但在热输运计算中，中心线上值取零就会导致十分荒谬的结果，例如当热量从渠道的一侧传到另一侧时，如果中心线上为零，渠道的另一侧就永远得不到热量。事实上，在管路、明渠的水流中，紊流主要产生在近壁区，热量是通过紊动的扩散作用被输运到中心线。
混合长假设忽略了扩散输运，因而错误地认为在中心线得不到紊动。
2）混合长假设忽略了紊动量的对流输运。
网格后的均匀流，是均匀紊流的典型例子。网格的存在使得紊流在网格后形成尾迹，紊动由时均流的对流输运输送到下游，在下游形成均匀紊流。这种情况下，下游区域的时均流的流速均匀，若按混合长假设，应得出，从而得出下游无紊动的错误结论。
究其根源，是因为混合长假设中忽略了对流输运。
3)混合长模型缺少通用性。
混合长模型对于不同类型的水流需采用不同的经验常数，这是混合长理论中忽略了紊动量的扩散输运和对流输运的必然结果。混合长假设的要害，是将紊动处理为没有时间积累、没有空间输运，就地产生，就地消亡的当地平衡状态，这当然就会限制混合长假设的使用范围。
一般地说，混合长模型可用以计算许多简单的剪力层型的流动，因为这种情况下可用经验方法确定；而对于在紊动输运过程中占有重要地位的较复杂的水流，则很难确定，混合长模型便不再适用。
单方程模型：考虑到紊动速度比尺的对流输运和扩散输运；在非恒定流动中，还考虑到紊动的历史。当对流输运或扩散输运比较重要时，单方程模型自然比混合长模型优越得多。
如自由流条件急剧变化的、非平衡状态的边界层，自由流为紊流的边界层，穿过对称平面或者对称轴的热输运，湍流中的热输运等。但是，单方程模型中关于如何确定长度比尺l，目前仍为不易解决的问题。对于比剪力层复杂的流动，欲确定长度比尺的分布就如同在混合长模型中确定混合长的分布一样，很难用经验方法解决。
这使得单方程模型迄今为止仍限用于剪力层流动。对于剪力层型的流动，前已述及，混合长模型也可得出满意的结果，且比单方程模型更为简单。
为了满足紊流模型发展的实际需要，人们转而开始寻求更普遍、更精细的方法来确定长度比尺l的分布，其结果就是双方程紊流模型。
二方程模型：长度比尺l，表征大的含能涡旋的尺寸大小，它与紊动能量k一样，受输运过程的影响和制约。例如，网格后形成的涡旋通过对流传播到下游，下游任何点处的涡旋尺寸均取决于网格后的涡旋尺寸；耗散过程破坏小涡旋，其效果是增大涡旋尺寸；涡旋之间的拉拽，形成能量梯级，其效果是减小涡旋尺寸。
所有这些决定着l的分布的过程之间的平衡，可用l的微分输运方程表示，据此便可计算l的分布。人们经过长期的实践，也未能找到描述和计算l分布的普遍适用公式，所以不得不采用长度比尺的微分输运方程，构造不同类型的双方程紊流模型。模型是目前紊流研究中应用广泛的一种湍流模型。
二方程模型优点：
1）双方程紊流模型不仅考虑到紊流速度比尺的输运，而且考虑到紊流长度比尺的输运，因而能确定各种复杂水流的长度比尺分布。尤其是有些形态的水流，其长度比尺不可能用简单的方法经验的确定，这时，双方程模型便是有希望成功的计算这些水流的最简单模型。例如，回流和一些由几个自由层和璧面层相互作用形成的复杂剪力层，用零方程和单方程模型均难得出较好的结果，用双方程模型却能得到极好的计算结果。
2）双方程紊流模型已经在相当广的应用范围内得到验证，证明有效。
二方程模型缺点：
1）模型中的经验常数，通用性尚不令人十分满意，对弱剪力层和轴对称射流，必须用一些函数代替几个经验常数。
2）紊动粘性系数是各向同性的标量，无法反映应力的各向异性及由此造成的流动宏观参数的改变。
3）方程适用于紊流雷诺数足够大的区域。紊流问题中涉及低雷诺数的固体壁面及其上的边界层（粘性底层及过渡层），方程必须做出修正，或对壁面附近的涡粘系数做出特殊的处理。
解：紊流的边界可以是固体壁面、自由表面，也可以是无紊动的水流，例如射流或尾迹的自由边界。固体壁面和自由表面的位置是确定的，而自由边界的位置却是不确定的，因为紊动流体和非紊动流体之间的交界面犬牙交错且不恒定。
为了便于实际计算，常将自由边界定义为速度或某个标量近似等于其自由流数值（例如为99%）的位置。
以上所说，皆为真实的物理边界。如果水流对称，只需计算其一半。对称平面或对称线也可以作为计算区域的边界。
原则上说，对于壁面边界，可以在固体壁面上规定无滑动边界条件，即：时均流速和脉动速度的各个分量均为零，耗散率为一有限值。
按照自由边界的定义，在自由边界上，速度和标量的数值应等于自由流的对应数值。通常假设层外流完全不受紊动的影响，故一切紊动量，如紊动应力和紊动通量的各个分量k、等，在自由边界上均取零值。
在对称平面或对称线上，由于对称性，一些量的法向梯度必须为零；同时，另一些量本身的数值必须为零。前者如：所有的标量（等）、平行于对称平面或对称线的速度分量、法向应力等。
后者如：垂直于对称平面或者对称线的速度分量、标量通量、剪应力等。
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