1、如图所示，已知ad是△abc的角平分线，de∥ac交ab于点e，df∥ab交ac于点f，求证：ad⊥ef．
2、如图，在三角形纸片abc中，ad平分∠bac，将△abc折叠，使点a与点d重合，展开后折痕分别交ab、ac于点e、f，连接de、df．求证：四边形aedf是菱形．
3、如图，在平行四边形abcd中，ad＞ab．
1）作出∠abc的平分线（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；
2）若（1）中所作的角平分线交ad于点e，af⊥be，垂足为点o，交bc于点f，连接ef．求证：四边形abfe为菱形．
4、如图，在矩形abcd中，对角线bd的垂直平分线mn与ad相交于点m，与bd相交于点n，连接bm，dn．
1）求证：四边形bmdn是菱形；
2）若ab=4，ad=8，求md的长．
5、如图，在四边形abfc中，∠acb=90°，bc的垂直平分线ef交bc于点d，交ab与点e，且cf=ae，1）求证：四边形becf是菱形；
2）若四边形becf为正方形，求∠a的度数．
6、菱形abcd中，∠b=60°，点e在边bc上，点f在边cd上．
1）如图1，若e是bc的中点，∠aef=60°，求证：be=df；
2）如图2，若∠eaf=60°，求证：△aef是等边三角形．
7、 正方形abcd的边长为3，e、f分别是ab、bc边上的点，且∠edf=45°．将△dae绕点d逆时针旋转90°，得到△dcm．
1）求证：ef=fm；
2）当ae=1时，求ef的长．
8、如图，正方形abcd中，ab=6，点e在边cd上，且cd=3de．将△ade沿ae对折至△afe，延长ef交边bc于点g，连接ag、cf．
1） 求证：△abg≌△afg； bg=cg；
2） 求△fgc的面积。
9、在平面直角坐标系xoy中，边长为a（a为大于0的常数）的正方形abcd的对角线ac、bd相交于点p，顶点a在x轴正半轴上运动，顶点b在y轴正半轴上运动（x轴的正半轴、y轴的正半轴都不包含原点o），顶点c、d都在第一象限．
1）当∠bao=45°时，求点p的坐标；
2）求证：无论点a在x轴正半轴上、点b在y轴正半轴上怎样运动，点p都在∠aob的平分线上；
3）设点p到x轴的距离为h，试确定h的取值范围，并说明理由．
10、如图，在矩形abcd中，e、f分别是边ab、cd上的点，ae=cf，连接ef、bf，ef与对角线ac交于点o，且be=bf，∠bef=2∠bac．
1）求证：oe=of；
2）若bc=2，求ab的长．
11、如图，将一张矩形纸片abcd沿直线mn折叠，使点c落在点a处，点d落在点e处，直线mn交bc于点m，交ad于点n．
1）求证：cm=cn；
2）若△cmn的面积与△cdn的面积比为3：1，求的值．
12、已知：如图，在菱形abcd中，f为边bc的中点，df与对角线ac交于点m，过m作me⊥cd于点e，∠1=∠2．
1）若ce=1，求bc的长；
2）求证：am=df+me．
13、已知：如图，正方形abcd中，e、f分别为ab、bc的中点，ce、df交于m．
1）试判断ce和df的关系，并证明；
2）求证：am=ad．
14、如图，在平行四边形abcd中，ab=5，bc=10，f为ad的中点，ce⊥ab于e，设∠abc=α（60°≤α90°）．
1）当α=60°时，求ce的长；
2）当60°＜α90°时，是否存在正整数k，使得∠efd=k∠aef？
若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．
15、【问题情境】
如图1，四边形abcd是正方形，m是bc边上的一点，e是cd边的中点，ae平分∠dam．
**展示】1）证明：am=ad+mc；
2）am=de+bm是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．
拓展延伸】3）若四边形abcd是长与宽不相等的矩形，其他条件不变，如图2，**展示（1）、（2）中的结论是否成立？请分别作出判断，不需要证明．
16、如图，△abc和△dec都是等腰直角三角形，c为它们的公共直角顶点，连ad，be，f为线段ad的中点，连cf.
1）如图1，当d点在bc上时，试探索出be与cf的数量关系，并说明理由；
2）如图2，把△dec绕c点顺时针旋转一个锐角，其他条件不变，问（1）中的关系是否仍然成立？如果成立请证明．如果不成立，请写出相应的正确的结论并加以证明．
17、邻边不相等的平行四边形纸片，剪去一个菱形，余下一个四边形，称为第一次操作；在余下的四边形纸片中再剪去一个菱形，又剩下一个四边形，称为第二次操作；…依此类推，若第n次操作余下的四边形是菱形，则称原平行四边形为n阶准菱形．如图1，abcd中，若ab=1，bc=2，则abcd为1阶准菱形．
1）判断与推理：
邻边长分别为2和3的平行四边形是阶准菱形；
小明为了剪去一个菱形，进行了如下操作：如图2，把abcd沿be折叠（点e在ad上），使点a落在bc边上的点f，得到四边形abfe．请证明四边形abfe是菱形．
2）操作、**与计算：
已知abcd的邻边长分别为1，a（a＞1），且是3阶准菱形，请画出abcd及裁剪线的示意图，并在图形下方写出a的值；
已知abcd的邻边长分别为a，b（a＞b），满足a=6b+r，b=5r，请写出abcd是几阶准菱形．
18、一张矩形纸片，剪下一个正方形，剩下一个矩形，称为第一次操作；在剩下的矩形纸片中再剪下一个正方形，剩下一个矩形，称为第二次操作；若在第n次操作后，剩下的矩形为正方形，则称原矩形为n阶奇异矩形．如图1，矩形abcd中，若ab=2，bc=6，则称矩形abcd为2阶奇异矩形．
1）判断与操作：如图2，矩形abcd长为5，宽为2，它是奇异矩形吗？如果是，请写出它是几阶奇异矩形，并在图中画出裁剪线；如果不是，请说明理由．
2）**与计算：已知矩形abcd的一边长为20，另一边长为a（a＜20），且它是3阶奇异矩形，请画出矩形abcd及裁剪线的示意图，并在图的下方写出a的值．
3）归纳与拓展：已知矩形abcd两邻边的长分别为b，c（b＜c），且它是4阶奇异矩形，则b：c写出所有值）．
19、如图，已知在rt△abc中，∠abc=90°，∠c=30°，ac=12cm，点e从点a出发沿ab以每秒1cm的速度向点b运动，同时点d从点c出发沿ca以每秒2cm的速度向点a运动，运动时间为t秒（0＜t＜6），过点d作df⊥bc于点f．
1）试用含t的式子表示ae、ad的长；
2）如图①，在d、e运动的过程中，四边形aefd是平行四边形，请说明理由；
3）连接de，当t为何值时，△def为直角三角形？
4）如图②，将△ade沿de翻折得到△a′de，试问当t为何值时，四边形aea′d为菱形？并判断此时点a是否在bc上？请说明理由．
20、如图，正方形oabc的边oa，oc在坐标轴上，点b的坐标为（-4，4）．点p从点a出发，以每秒1个单位长度的速度沿x轴向点o运动；点q从点o同时出发，以相同的速度沿x轴的正方向运动，规定点p到达点o时，点q也停止运动．连接bp，过p点作bp的垂线，与过点q平行于y轴的直线l相交于点d．bd与y轴交于点e，连接pe．设点p运动的时间为t（s）．
1）∠pbd的度数为 ，点d的坐标为用t表示）；
2）当t为何值时，△pbe为等腰三角形？
3）探索△poe周长是否随时间t的变化而变化？若变化，说明理由；若不变，试求这个定值．
21、如图，已知△abc是边长为6cm的等边三角形，动点p、q同时从a、b两点出发，分别沿ab、bc匀速运动，其中点p运动的速度是1cm/s，点q运动的速度是2cm/s，当点q到达点c时，p、q两点都停止运动，设运动时间为t（s），解答下列问题：
1）当t＝2时，判断△bpq的形状，并说明理由；
2）设△bpq的面积为s（cm2），求s与t的函数关系式；
3）作qr//ba交ac于点r，连结pr，当t为何值时，△apr∽△prq？
22、如图所示，在直角坐标系中，四边形oabc为直角梯形，oa∥bc，bc=14cm，a点坐标为（16，0），c点坐标为（0，2）．点p、q分别从c、a同时出发，点p以2cm/s的速度由c向b运动，点q以4cm/s的速度由a向o运动，当点q停止运动时，点p也停止运动，设运动时间为ts（0≤t≤4）．
1）求当t为多少时，四边形pqab为平行四边形．
2）求当t为多少时，pq所在直线将梯形oabc分成左右两部分的面积比为1:2，求出此时直线pq的函数关系式．
23、如图，四边形abcd为矩形，c点在x轴上，a点在y轴上，d点坐标是。
0，0），b点坐标是（3，4），矩形abcd沿直线ef折叠，点a落在bc边上的g处，e、f分别在ad、ab上，且f点的坐标是（2，4）．
1）求g点坐标；
2）求直线ef解析式；
3）点n在x轴上，直线ef上是否存在点m，使以m、n、f、g为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出m点的坐标；若不存在，请说明理由．
24如图，平面直角坐标系中，矩形oabc的对角线ac=12，∠aco=30度，1）求b、c两点的坐标；
2）把矩形沿直线de对折使点c落在点a处，de与ac相交于点f，求直线。
de的解析式；
3）若点m在直线de上，平面内是否存在点n，使以o、f、m、n为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点n的坐标；若不存在，请说明理由．
25、如图，在rt△oab中，∠a=90°，∠abo=30°，ob=，边ab的垂直平分线cd分别与ab、x轴、y轴交于点c、g、d．
1）求点g的坐标；
2）求直线cd的解析式；
3）在直线cd上和平面内是否分别存在点q、p，使得以o、d、p、q为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点q得坐标；若不存在，请说明理由．
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