函数解析式。
例。一、已知f(x)=x2-1,求f(x+x2)
例二、1 已知f(x)是一次函数，且f[f(x)]=x+6,求f(x)
2 f(x)是二次函数，且f(0)=-1,f(x+1)-f(x)=2x+2,求f(x).
3 f(x)是二次函数，且，f(2x+1)+f(2x-1)= 16x 2-4x+6,求f(x).
例三、例四、
例五、求复合函数的定义域。
求复合函数的单调区间。
抽象函数单调性的判定。
例1， 定义在r上的函数f(x)满足，当x>0时f(x)，且对任意x,yr都有，若，（1）求 ⑵证明对任意有恒成立且f(x)在r上是增函数 ⑶解不等式。
分析；恰当赋值可求函数值，用定义可证单调性，应用单调性可解不等式。
解； （1） ⑵令由=
得，当时==
其中故对任意有恒成立。设且则由=>
在r上是增函数⑶， 即由⑵知2-所以原不等式的解集为。
点评： 单调性定义是判断抽象函数单调性的重要方法，抽象函数不等式问题关键是利用函数的单调性“脱去”化为一般的不等式来解。本题背景函数为指数函数。
例2，函数f(x)满足都有f(x1+x2)= f(x1)+ f(x2)-3,并且当x>0时， f(x)>3
ⅰ)求证f(x)是r上的增函数 ⑵若f(3)=6,解不等式f(a2-3a-9)<4.
分析：用定义证明单调性，变形技巧：
证明： 设且则，因为f(x1)+ f(x1)= 3>0，所以f(x1)< f(x2)，即f(x)是r上的增函数 ⑵f(3)=，所以f(a2-3a-9)<4.即f(a2-3a-9)<，在r上是增函数a2-3a-9<1解得-2<<5即不等式f(a2-3a-9)<4的解集为。
点评： 单调性定义证明利用题设使抽象的问题变为比较与3的大小的具体问题。本题中的隐含条件不可忽视，本题背景函数为一次函数。
例3，定义在（0，+）上的函数f(x) 对任意x,yr都有且当时f(x)，（1）求 ⑵求证，判断f(x)在（0，+）上的单调性并说明理由 ⑶若求实数的取值范围。
分析：用好函数一系列的已知条件，注意变形技巧：的使用可正确解题。
解； （1）， 0，设，
或 f(x1)<,在（0，+）上是增函数 ⑶由⑵知得，所以原不等式的解集为
点评： 本题运用单调性“脱去”时不能忽略f(x)的定义域，否则会出错，注意等价命题的证明，要证，不妨先证，本题背景函数为对数函数。
例4，已知函数f(x)定义域为r满足f(x)>0对任意x,yr都有，，（1）求，⑵求证且判断f(x) 的单调性，⑶当时恒成立，求实数的取值范围。
解析； =f(x)= 所以f(x)是r上的增函数⑶由⑵知对恒成立所以得。
例5, （天津卷)已知函数f(x)=，若，求实数a的取值范围。
解析；本题解答的关键是正确作出函数的图象，概括出函数在r上是单调递增函数，所以由。
例6，(江苏卷)已知函数f(x)=求满足不等式的取值范围。
解析；由函数f(x) 函数特征将不等式化为，解得。
例7，辽宁卷已知偶函数f(x)在区间上单调递增求满足的取值范围。
解析；由偶函数性质得，又f(x)在区间上单调递增解得。
点评：运用偶函数性质可把变量转化为同一单调区间再利用单调性求解。
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