《经济数学基础(本)》作业评讲(2)
重庆广播电视大学文法学院姚素芬。
下面我们将对第二次作业中的第三题进行作业评讲。
下文中，黑色的是问题与答案，绿色是说明和解释。
三、计算题。
1．设矩阵，，求．
此题的考核知识点有3点：
矩阵的定义；
矩阵的运算；
矩阵的转置。
分析：此题的难点是矩阵的乘法运算，要解此题，首先要计算，减法运算比较简单，只需对应元素相减，矩阵的乘法运算比较复杂，希望同学们一定要仔细。具体解题步骤如下。
解：因为=
所以 ==2．设矩阵，那么可逆吗？若可逆，求逆矩阵．
此题的考核知识点有3点：
矩阵的定义；
矩阵的乘法运算；
利用初等行变换求逆矩阵的方法。
分析：此题比较难，要做此题，必须构建矩阵（a，i），然后利用行进行变换，最后形成（i，a-1），得到逆矩阵a-1。具体解题步骤如下。
解：由矩阵乘法和转置运算得。
利用初等行变换得。
即 3．设矩阵，，，计算．
此题的考核知识点有3点：
矩阵的定义；
矩阵的运算；
矩阵的转置。
分析：此题的难点是矩阵的乘法运算，要解此题，首先要计算，注意，矩阵的乘法运算比较复杂，希望同学们一定要仔细，然后，再做加法运算，加法运算比较简单，只需对应元素相加。具体解题步骤如下。
解： =4．计算四阶行列式：
此题的考核知识点有2个：
行列式的计算方法；
代数数余子式。
分析：计算多阶行列式的一般方法都是采用代数数余子式进行降阶，从题目可知第一行只有两个非0数，所以可以按第一行展开，具体解题步骤如下：
解：由代数余子式的定义。
5．已知矩阵方程，其中，，求．
此题的考核知识点有3点：
矩阵的定义；
求解矩阵方程的方法。
利用初等行变换求逆矩阵的方法。
分析：此题比较难，要做此题，首先进行矩阵方程变换，即，然后利用初等行变换求(i-a)的逆矩阵。具体解题步骤如下。
解：因为，且。即 所以。
6. 设线性方程组，求其系数矩阵和增广矩阵的秩，并判断其解的情况。
此题的考核知识点有2点：
系数矩阵和增广矩阵的定义；
利用初等行变换求解矩阵秩的方法。
分析：此题比较简单，只需根据系数矩阵和增广矩阵的定义写出其相应的矩阵，然后利用初等行变换求解矩阵秩即可，具体解题步骤如下。
解因为。所以 r(a) =2，r() 3.
又因为r(a) r()，所以方程组无解。
7．当取何值时，线性方程组。
有解，在有解的情况下求方程组的全部解．
此题的考核知识点有2个：
利用矩阵的初等行变换，将增广矩阵化为阶梯型矩阵；
求解线性方程组的一般解。
分析：从题意可以看出，要解此题，必须将线性方程组的增广矩阵化简为阶梯型矩阵，只需要将它还原成为一般线性方程组，就可以求出它的一般解了，在根据一般解求它的全部解。具体解题步骤如下。
解：将方程组的增广矩阵化为阶梯形。
由此可知当时，方程组无解。当时，方程组有解。
此时齐次方程组化为。
分别令及，得齐次方程组的一个基础解系。
令，得非齐次方程组的一个特解。
由此得原方程组的全部解为。
（其中为任意常数）
8．设线性方程组。
讨论当a，b为何值时，方程组无解，有唯一解，有无穷多解。
此题的考核知识点是：利用矩阵的初等行变换，将增广矩阵化为阶梯型矩阵；
分析：从题意可以看出，要解此题，必须将线性方程组的增广矩阵化简为阶梯型矩阵，根据阶梯型矩阵的形状来判断解的情况，具体解题步骤如下。
解因为。所以当且时，方程组无解；
当时，方程组有唯一解；
当且时，方程组有无穷多解。
9．设向量组，，，求这个向量组的秩以及它的一个极大线性无关组．
此题的考核知识点有2个：
利用矩阵的初等行变换求这个向量组的秩；
求向量组的一个极大线性无关组。
分析：从题意可以看出，要解此题，必须将向量组改写成矩阵，然后将其化简为阶梯型矩阵，然后根据非0行行数来求向量组的秩，并判断其极大线性无关组。具体解题步骤如下。解：因为。
所以，r() 3．
它的一个极大线性无关组是（或）．
10．证明：设是线性无关的，证明，也线性无关。
此题的考核知识点有2个：
向量组的极大线性无关组的概念；
向量组的极大线性无关组的充分必要条件。
分析：从题意可以看出，这是一个证明题，要也线性无关，必须证明要使得成立，必须有k1=k2=k3=0。具体解题步骤如下。
证明：设有一组数，使得。
成立。即，由已知线性无关，故有。
该方程组只有零解，得，故是线性无关的．
11．设是n阶矩阵，若= 0，证明：
此题的考核知识点有2个：
矩阵的概念；
逆矩阵的概念。
分析：从题意可以看出，这是一个证明题，要证明，只需证明即可，具体解题步骤如下。
证因为。所以
12．设是可逆矩阵的特征值，且，试证：是矩阵的特征值．
此题的考核知识点有3个：
矩阵的概念；
逆矩阵的概念。
特征值的概念。
分析：从题意可以看出，这是一个证明题，要证明是矩阵的特征值．，只需证明即可，具体解题步骤如下。
证明：由已知条件知有非零向量，使得。
上式两端左乘得。
即。整理得。
由定义可知是矩阵的特征值．证毕．
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