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课时分层作业十一。
函数与方程。
一、选择题(每小题5分，共25分)
1.若函数f(x)=ax+b有一个零点是2,那么函数g(x)=bx2-ax的零点是 (
a.0,2b.0,c.0d.2,-
解析】选c.因为2a+b=0,所以g(x)=-2ax2-ax=-ax(2x+1).所以零点为0和-.
2.(2018·唐山模拟)f(x)=2sin πx-x+1的零点个数为 (
a.4b.5c.6d.7
解析】选b.令2sin πx-x+1=0,则2sin πx=x-1,令h(x)=2sin πx,g(x)=x-1,则f(x)=2sin πx-x+1的零点个数问题转化为两个函数h(x)与g(x)图象的交点个数问题。h(x)=2sin πx的最小正周期为t==2,画出两个函数的图象，如图所示。
因为h(1)=g(1),h>g,g(3)=2>h(3)=0,g(-1)=-2,所以两个函数图象的交点一共有5个，所以f(x)=2sin πx-x+1的零点个数为5.
3.若函数f(x)=ax-x-a(a>0且a≠1)有两个零点，则实数a的取值范围是( )
a.(2b.
c.(1d.(0,1)
解析】选c.函数f(x)=ax-x-a(a>0且a≠1)有两个零点，就是函数y=ax(a>0且a≠1)与函数y=x+a(a>0且a≠1)的图象有两个交点，由图1知，当01时，因为函数y=ax(a>1)的图象与y轴交于点(0,1),而直线y=x+a与y轴的交点一定在点(0,1)的上方，所以两函数的图象一定有两个交点，所以实数a的取值范围是a>1.
4.已知函数f(x)=-log2x,在下列区间中，包含f(x)的零点的区间是 (
a.(0,1b.(1,2)
c.(2,4d.(4,+∞
解析】选c.对于函数f(x)=-log2x,因为f(2)=2>0,f(4)=-0.5<0,根据零点的存在性定理知选c.
一题多解】选c.在同一坐标系中作出函数h(x)=与g(x)=log2x的大致图象，如图所示，可得f(x)的零点所在的区间为(2,4).
变式备选】(2018·烟台模拟)函数f(x)=ln(x+1)-的零点所在的大致区间。
是 ( a.(0,1b.(1,2)
c.(2,ed.(3,4)
解析】选b.因为f(x)在(0,+∞上为单调增函数，且f(1)=ln 2-2<0,f(2)=ln 3-1>0,所以函数的零点所在的大致区间是(1,2).
5.设函数f(x)=ex+2x-4,g(x)=ln x+2x2-5,若实数a,b分别是f(x),g(x)的零点，则 (
0c.0【解析】选a.依题意，f(0)=-3<0,f(1)=e-2>0,且函数f(x)是增函数，因此函数f(x)的零点在区间(0,1)内，即00,函数g(x)的零点在区间(1,2)内，即1f(1)>0.
又函数g(x)在(0,1)内是增函数，因此有g(a)二、填空题(每小题5分，共15分)
6.(2018·安庆模拟)若函数f(x)=4x-2x-a,x∈[-1,1]有零点，则实数a的取值范围是___
解析】因为函数f(x)=4x-2x-a,x∈[-1,1]有零点，所以方程4x-2x-a=0在[-1,1]上有解，即方程a=4x-2x在[-1,1]上有解。
方程a=4x-2x可变形为a=-,因为x∈[-1,1],所以2x∈,所以-∈.
所以实数a的取值范围是。
答案：7.(2018·嘉兴模拟)设函数y=x3与y=的图象的交点为(x0,y0),若x0∈(n,n+1),n∈n,则x0所在的区间是___
解析】设f(x)=x3-,则x0是函数f(x)的零点，在同一坐标系下画出函数y=x3与y= 的图象如图所示。
因为f(1)=1-=-1<0,f(2)=8-=7>0,所以f(1)f(2)<0,所以x0∈(1,2).
答案：(1,2)
变式备选】已知函数f(x)=x2+x+a (a<0)在区间(0,1)上有零点，则a的范围为___
解析】由题意f(1)·f(0)<0,所以a(2+a)<0.所以-2答案：(-2,0)
8.(2018·北京模拟)函数f(x)是定义在r上的偶函数，且满足f(x+2)=f(x).当x∈[0,1]时，f(x)=2x.
若在区间[-2,3]上方程ax+2a-f(x)=0恰有四个不相等的实数根，则实数a的取值范围是___
解析】由f(x+2)=f(x)知函数f(x)是以2为周期的周期函数，又f(x)为偶函数，故函数在[-2,3]上的图象。
如图所示。直线y=ax+2a过定点(-2,0),在区间[-2,3]上方程ax+2a-f(x)=0恰有四个不相等的实数根，等价于直线y=ax+2a与函数y=f(x)的图象有四个不同的公共点，结合图形可得实数a满足不等式3a+2a>2,且a+2a<2,即答案：
三、解答题(每小题10分，共20分)
9.判断函数f(x)=4x+x2-x3在区间[-1,1]上零点的个数，并说明理由。
解析】因为f(-1)=-4+1+=-0,f(1)=4+1-=>0,所以f(x)在区间[-1,1]上有零点。
又f′(x)=4+2x-2x2=-2,当-1≤x≤1时，0≤f′(x)≤,所以f(x)在[-1,1]上是单调递增函数。
所以f(x)在[-1,1]上有且只有一个零点。
10.已知函数f(x)=4x+m·2x+1有且仅有一个零点，
1)求m的值。
2)求函数的零点。
解析】 (1)因为f(x)=4x+m·2x+1有且仅有一个零点，即方程(2x)2+m·2x+1=0仅有一个实根。
设2x=t(t>0),则t2+mt+1=0.
当δ=0时，即m2-4=0,所以m=±2,当m=-2时，t=1;
当m=2时，t=-1(不合题意，舍去).
所以2x=1,x=0符合题意。
当δ>0时，即m>2或m<-2,t2+mt+1=0有两正或两负根，即f(x)有两个零点或没有零点。
所以这种情况不符合题意。
综上可知：当m=-2时，f(x)有唯一零点。
2)由(1)可知，该函数的零点为0.
1.(5分)已知实数a,b满足2a=3,3b=2,则函数f(x)=ax+x-b的零点所在的区间。
是 ( a.(-2,-1b.(-1,0)
c.(0,1d.(1,2)
解析】选b.因为2a=3,3b=2,所以a>1,0又f(x)=ax+x-b,所以f(-1)=-1-b<0,f(0)=1-b>0,从而由零点存在性定理可知f(x)在区间(-1,0)上存在零点。
2.(5分)(2018·台州模拟)已知函数y=f(x)是周期为2的周期函数，且当x∈[-1,1]时，f(x)=2|x|-1,则函数f(x)=f(x)-|lg x|的零点个数是 (
a.9b.10c.11d.18
解题指南】函数f(x)的零点个数就是函数y=f(x)与y=|lg x|图象交点的个数，作出函数图象，结合图象确定零点的个数。
解析】选b.由f(x)=0得f(x)=|lg x|,所以函数f(x)=f(x)-|lg x|的零点个数就是函数y=f(x)与y=|lg x|图象交点的个数。作出函数图象，如图所示：
当010时，|lg x|>1,所以此时函数y=f(x)与y=|lg x|图象无交点。故函数f(x)=f(x)-|lg x|的零点个数是10.
3.(5分)已知以t=4为周期的函数f(x)= 若方程f(x)=mx恰有5个实数解，则正实数m的取值范围为___
解题指南】作出函数f(x)在一个周期[-1,3]上的图象，根据周期性拓展函数图象，再作出函数y=mx的图象，数形结合找出两个函数图象有5个公共点时实数m满足的不等式解之即可。
解析】因为当x∈[-1,1]时，将函数y=化为方程x2+y2=1(y≥0),其图象为半圆如图所示，同时在坐标系中作出当x∈(1,3]的图象，再根据周期性作出函数其他部分的图象如图，由图易知直线y=mx与第二个半圆(x-4)2+y2=1(y≥0)相交，而与第二段折线无公共点时，方程恰有5个实数解， 将y=mx代入(x-4)2+y2=1得(1+m2)x2-8x+15=0, 令δ=64-60(1+m2)>0,得m2<.又当x=6时，6m>1,m>,所以m∈.
答案： 方法技巧】数形结合思想在函数零点问题中的应用。
1)数形结合思想的本质是转化，即把数的问题转化为形的问题直观解决，或者把形的问题转化为数的问题加以解决。
2)在函数与方程问题中利用数形结合思想可以把函数的零点、方程的根等问题转化为两个函数图象的交点问题加以解决。
4.(12分)设函数f(x)=ax2+bx+b-1(a≠0).
1)当a=1,b=-2时，求函数f(x)的零点。
2)若对任意b∈r,函数f(x)恒有两个不同零点，求实数a的取值范围。
解析】(1)当a=1,b=-2时，f(x)=x2-2x-3,令f(x)=0,得x=3或x=-1.
所以函数f(x)的零点为3或-1.
2)依题意，f(x)=ax2+bx+b-1=0有两个不同实根，所以b2-4a(b-1)>0恒成立，即对于任意b∈r,b2-4ab+4a>0恒成立，所以有(-4a)2-4×(4a)<0a2-a<0,解得0因此实数a的取值范围是(0,1).
5.(13分)已知函数f(x)=log4(4x+1)+kx(k∈r)为偶函数。
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