有关中值定理的证明问题是历年出题的一个热点，将中值定理和介值定理或积分中值定理结合命题是比较常见的命题形式。首先复习一下各大定理：
1、介值定理：设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，且在该区间的端点取不同的函数值f(a)=a及f(b)=b，那么对于a与b之间的任意一个数c，在开区间(a,b)内至少有一点ξ使得f(ξ)c(a<ξ
ps:c是介于a、b之间的，结论中的ξ取开区间。
介值定理的推论：设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，则f(x)在[a,b]上有最大值m，最小值m,若m≤c≤m,则必存在ξ∈[a,b],使得f(ξ)c。
2、零点定理：设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，且f(a)与f(b)异号，即f(a)。f(b)<0,那么在开区间内至少存在一点ξ使得f(ξ)0.
ps:注意条件是闭区间连续，端点函数值异号，结论是开区间存在点使函数值为0.
3、罗尔定理：如果函数f(x)满足：
(1)、在闭区间[a,b]上连续；
(2)、在开区间(a,b)内可导；
(3)、在区间端点处函数值相等，即f(a)=f(b)。
那么在(a,b)内至少有一点ξ(a<ξ
ps：在用罗尔定理时，关键是找出辅助函数，且结论成立前提为开区间内取值。
4、拉格朗日中值定理：如果函数f(x)满足：
(1)、在闭区间[a,b]上连续；
(2)、在开区间(a,b)内可导；
那么在(a,b)内至少有一点ξ(a<ξ
5、柯西中值定理：如果函数f(x)及g(x)满足。
(1)、在闭区间[a,b]上连续；
(2)、在开区间(a,b)内可导；
(3)、对任一x(a
那么在(a,b)内至少存在一点ξ，使[f(b)-f(a)]/g(b)-g(a)]=f`(ξg`(ξ
ps：拉格朗日中值定理、柯西中值定理结论都是开开区间内取值。
题设或证明结论中含有一般的a,b,f(a)，f(b)时，经常可考虑直接用拉格朗日中值定理或利用柯西中值定理证明。
对于“存在两个点”的问题，一般先用一次拉格朗日中值定理(或柯西中值定理)，然后再用一次柯西中值定理(或拉格朗日中值定理)。
6、积分中值定理：若函数f(x)在[a,b]上连续，则至少存在一点ξ(a≤ξ≤b)使。
ps：该定理课本中给的结论是在闭区间上成立，如果想在开区间内使用，我们便构造该函数，运用拉格朗日中值定理来证明下使其在开区间内成立即可。千万不可直接运用。
通过上面对各个定理的简单介绍，可以看出“恰当构造辅助函数”成为灵活运用中值定理的关键。下面将介绍几种常见的辅助函数构造方法：
1、原函数法：先将ξ化为x，然后将式子恒等变形以便于积分，按照常微分方程求解后，所得式子f(x,f(x))=c,则f(x,f(x))即为所需的辅助函数。
2、常数比值法：它适用于常数已分离的命题。
3、观察要证明的结论形式，如果与以下等式的右边式子较为类似，则往往可以直接写出辅助函数：
一、准确掌握答题时间。
考试时长是3小时，答题的时间分配一般可以按照如下方式：选择题和填空题约1小时，解答题约1个半小时，预留半小时检查和补做前面未做的题，以及作为机动和回旋余地。选择题和填空题每题一般花4~5分钟，如果一道题3分钟仍无思路则应跳过。
解答题每题一般花10分钟左右，一道题如果5~6分钟仍一筹莫展，则应跳过，暂时放弃。该放弃时应敢于放弃、善于放弃，放弃后应尽快调整好自己的心态，要相信自己不会做的题别人很可能也不会做。切忌没完没了地纠缠于某个题，这将造成灾难性的后果。
考研数学初试考场答题五大注意事项" /
二、做题要细心。
做题时一定要仔细，该拿分的一定要拿住。尤其是选择题和填空题，因为体现的只是最后结果，一个小小的错误都会令一切努力功亏一篑。很多同学认为选择和填空的分值不大，把主要的精力都放在了大题上面，但是需要引起大家注意的是：
两道选择或填空题的分值就相当于一道大题，如果这类题目失分过多，仅靠大题是很难把分数提很高的。做完一道选择、填空题时只需要大家再仔细的验算一遍即可，并不需要一定要等到做完考卷以后再检查，而且这样也不会花费大家很长时间。做大题的时候，对于前面说的完全没有思路的题不要一点不写，写一些相关的内容得一点“步骤分”。
三、选择题“四种”答题方法。
1.举反例排除法。 这是针对提示中给出的函数是抽象的函数，抽象的对立面是具体，所以我们用具体的例子来核定，这个跟我们刚才的赋值法有某种相似之处。
一般来讲举的范例是越简单越好，而且很多考题你只要简单的看就可以看出他的错误点。
2.推演法。提示条件中给出一些条件或者一些数值，你很容易判断，那这样的题就用推演法去做。
推演法实际上是一些计算题，简单一点的计算题。那么从提示条件中往后推，推出哪个结果选择哪个。
3.赋值法。 给一个数值马上可以判断我们这种做法对不对，这个值可以加在给出的条件上，也可以加在被选的 4个答案中的其中几个上，我们加上去如果得出和我们题设的条件矛盾，或者是和我们已知的事实相矛盾。
比方说 2小于 1就是明显的错误，所以把这些排除了，排除掉 3个最后一个肯定是正确的。
4.类推法。从最后被选的答案中往前推，推出哪个错误就把哪个否定掉，再换一个。
我们推出 3个错误最后一个肯定是正确的。后面三种方法有些相似之处，类推法这种方法是费时费力的，一般来讲我们不太用。
四、注意步骤的完整性。
解答题的分数很高，相应的对于考生知识点的考察也更全面一些，有些考题甚至包含了。
三、四个考察点，因此要求考生答题时相应的知识点应该在卷面上有所体现，步骤过简势必会影响分数。大家要注意问题之间的联系。好多试题的问题并非一个，尤其是概率题，对于此类考题的第一问一定要引起注意。
因为它的第二问，甚至第三问可能会与第一问产生直接或间接的联系，第一问如果答错将会导致第。
二、三问的错误，那么这道考题的分数就会失分很多。
五、考试结束注意事项。
紧张的一科考试结束了，您还有很多工作要做，首先就是封装您的信封，将您需要放入信封的东西按照监考老师的要求，一样样的放入信封，检查无误后，再封上信封。贴上密封贴。然后等待老师的收缴。
试卷和答题卡应该是都要装进去的，草稿纸不用装进信封最后直接上交给老师。有些人漏装了试卷或者答题卡，有些人还多装了东西甚至把准考证都装进去交上去了，比较麻烦的。控制好时间，铃声响了就别死命在那写了，不要以为平时考试你左手跟老师搏斗右手在那拼命答题老师没说你考研就可以这样搞，有些老师很严格的，我的考场上一位同学因为多写了几下被老师拒绝收试卷。
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