1.求极限。
2.设，试证。
3.设在上有界可积，，求证存在，使得。
4.若幂级数在内收敛于，设，满足和，，则，对所有。
5.设函数在有任意阶导数，且导数数列在一致收敛于，，求证。
6.设在球上连续，令，求证，.
7.设在全空间上具有连续的偏导数，且关于都是周期的，即对任意点，成立，则对任意实数，有，这里是单位方体。
8.设为三阶实对称方阵，定义函数，求证在条件下的最大值为矩阵的最大特征值。
9.（1）设数列，满足，，定义集合，为整数集，为自然数集，求证对任何实数，存在数列，使得；
2)试证一个非常数的周期连续函数必有最小正周期。
10.设是上的周期连续函数，周期为，且，令，，求证级数收敛。
南开大学2023年数学分析考研试题解答。
1、解当时，令，原式。
当时，同理。
故。2、 证明将行列式按第一列展开。
所以，同理将行列式按第列展开，得，于是。
3、 证明构造函数，由在上有界可积，知在上连续，存在，使得，即。
4、 证明设，
由于一致收敛于，则有一致收敛于，一致收敛于，于是，又因为，故。
5、 证明令，， 则。
在中：，故结论得证。
6、 证明由偏导数连续，同理。
故有。7、 证明由幂级数的收敛性知连续，于是，由幂级数的性质都在上连续，
由，，存在在与之间，使得，显然有，由，，存在在与之间，使得，显然有，同理这样继续下去，可得，由于已展开成收敛的幂级数，所以，故，.
8、设为阶实对称方阵，定义函数，其中，求证：在条件下的最大值和最小值分别为矩阵的最大特征值和最小特征值。
证明因为是有界闭集，在上连续，所以在上存在最大值和最小值。
设，使得，使得，则对任意的实数，都有，对时，有，令，得，对于时，有，令，得，故有，（任意）
从而，是的特征值，同理可证也是的特征值，设为的特征值，对应的特征向量为，于是，所以是的最大特征值，是的最小特征值。
8、 证明因为是实对称矩阵，所以存在正交阵，使得，为实数，于是。
令，则，又因为，所以。
即，不妨设，则有，显然有最大值。
9、 证明（1）对任意固定实数，存在，使得，为整数，将闭区间进一步缩小，存在，使得，记为，一直进行下去，得到一列闭区间套，使得。
因为，所以的任何子列比收敛于零，则，利用闭区间套定理，存在，使得，由是唯一公共点，知。
令，则有。2） （a）因为集合有下界，有确界存在定理，存在，b）现证明，根据下确界的性质，存在，使得，对任意，由得连续性，得。
所以是的周期。
c）因为，所以，若，则，于是得周期网点（指等于周期整数倍的点）在实数轴上稠密，从而，任意，存在，是有一些周期网点所组成的序列，由此，即（为常数），矛盾，故，结论得证。
10、 证明设，由于是周期为1的连续函数，且，易知亦是周期为1的连续函数，且，，，其中为常数，而收敛，所以收敛。
南开大学2023年考研试题
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