2023年全国硕士研究生入学统一考试。
数学三试卷分析。
.试卷结构分析。
2023年全国硕士研究生入学统一考试数学三试卷严格按照2023年《考试大纲》规定的考试内容、试卷结构和题型结构命制，保持了应有的稳定性和连续性，较为准确的把握了试卷的整体难度，具有较为理想的区分度、信度和效度。具体到微积分、线性代数和概率论与数理统计各科目所考查的知识点详见下表。
表 2023年数学三试卷所考查的内容。
试卷遵循了《考试大纲》的要求，重点考查了考生对基本概念、基本原理和基本方法的理解与掌握情况以及运用相关知识分析问题和解决问题的能力，这类试题在试卷中分值占有较大比例。没有出现偏题、怪题和超纲题。既考虑了试题覆盖面，又突出了重点章节，从试题结构上看较为合理。
部分考生认为该试卷内容较难，从答题情况看，突显了目前部分考生轻基础，重技巧，轻思考、重名师、不务实的复习状况，应引以为戒，养成踏实的研究精神和求学态度。
.试题分析。
一、选择题： 1~8小题，每小题4分，共32分。下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目。
要求的。1）设则当充分大时有（ ）
a） （b） （cd)
答：（a）.
考点解析：本题考查极限的保号性，考查基本性质，是基本问题。
解：因为，所以对，存在正整数，当时，有，即，从而。
取，则知，所以选择（a）.
2）下列曲线中有渐近线的是。
ab）.cd）.
答：（c）.
考点解析：本题主要考查曲线的渐近线，是基本问题，比较简单，需要考生对相关知识点要识记准确。
解：对于，可知，又，所以有斜渐近线，因此应选（c）.
3）设，则当时，若是比高阶的无穷小，则下列选项中错误的是。
abc）. d）.
答：（d）.
考点解析：本题考查无穷小比较的概念和常用函数的麦克劳林公式，考查基本原理和方法。
解：因为当时，，显然，故应选（d）.
典型错误：直接根据概念利用罗必塔法则求极限导致计算繁琐而出错。
4）设函数具有2阶导数，，则在上。
a）当时，. b）当时，.
c）当时，. d）当时，.
答：（d）.
考点解析：此题考查不等式的证明。涉及到利用曲线的凹凸性或函数的最值证明不等式的方法。
解法1: 如果对区间上任意两点及常数，恒有。
则曲线是上凹的．
令，则，而。
故当时，曲线是上凹的，即，也就是，应选（d）.
解法2:令，则，且，故当时，曲线是上凹的，从而在端点处取最大值，而，故，也就是，应该选（d）.
典型错误：这类题型选项相似，迷惑性大，解答时容易思路混乱而导致错选。
5）行列式等于。
ab）.cd）.
答：（b）.
考点解析：本题考查行列式的性质与计算，是基本题型。
解法1：用行列式的性质与公式计算行列式：
解法2：用行列式的性质与按一行(列)展开定理计算行列式：
解法3：用行列式的性质与拉普拉斯定理计算行列式：
典型错误：本题大部分同学都能做上，有的考生在交换行列式的行或列时，忘记了改变符号，从而导致错误的选择。
6）设是三维向量，则对任意的常数，向量，线性无关是向量线性无关的。
a）必要而非充分条件b）充分而非必要条件。
c）充分必要条件d） 非充分非必要条件。
答：（a）.
考点解析：本题考查向量组线性相关性的概念和充分必要条件的理解。所涉及的知识点是：
若只有λ1=λ2=…=m=0时，λ1α1+λ2α2+…+mαm=0，则向量组α1，α2，…，m线性无关。
解法1：已知α1，α2，α3线性无关，设λ1(α1+kα3)+λ2(α2+lα3)=0，即。
1α1+λ2α2+(kλ1+lλ2)α3=0λ1=λ2=kλ1+lλ2=0，从而α1+kα3，α2+ lα3线性无关。反之若α1+kα3，α2+ lα3线性无关，不一定有α1，α2，α3线性无关。例如。
显然，α1+kα3，α2+ lα3线性无关，而α1，α2，α3线性相关。故α1+kα3，α2+ lα3线性无关是α1，α2，α3线性无关的必要条件，而不是充分条件。因此选(a).
解法2：若向量线性无关，则，），对任意的常数，矩阵的秩都等于2，所以向量，一定线性无关．
而当时，对任意的常数，向量，线性无关，但线性相关，故选择（a）．
典型错误：部分考生对充分必要条件理解不清，从而选择错误。但大部分考生能做出正确的选择。
7）设事件a，b相互独立，则。
a）0.1. （b）0.2c）0.3d）0.4.
答：（b）.
考点解析：此题考查事件的关系和运算，考查的是基本计算公式。
解：，所以，而，故选择（b）．
8）设为来自正态总体的简单随机样本，则统计量服从的分布为。
a） （b） （c） （d）
答：（c）.
考点解析：本题考查统计量的概率分布，主要考查的是基本理论，要求考生具有判断能力。
解：因为。显然。
从而，，且相互独立，故因此应该选择（c）．
典型错误：由于没有掌握常用分布的定义及其基本形式而判断错误。
二、填空题：9~14小题，每小题4分，共24分。
9）设某商品的需求函数为（为商品的**），则该商品的边际收益为 ．
答：应填。考点解析：本题考查边际收益的概念，是基本概念问题。
解：因为，故边际收益。
典型错误：本题错误率较高，主要是因为边际收益的概念记得不准确，直接将收益函数对**求导而结果错误。
10）设d是由曲线与直线及围成的有界区域，则d的面积为。
答：应填。考点解析：本题考查定积分的几何应用，考查的是基本方法。
解：由题意，d的面积。
11）设，则。
答：应填。考点解析：本题考查定积分的计算，主要考查基本积分法。
解： 解得。
典型错误：计算错误。
12）二次积分。
答：应填。考点解析：本题考查二次积分换序和计算，考查的是基本方法。
解： 13）设二次型的负惯性指数是1，则的取值范围是。
答：应填-2a2.
考点解析：本题考查二次型负惯性指数的概念，主要是考查基本概念和基本方法。所涉及的知识点是：
(1)二次型标准形的概念及化二次型为标准形的方法；(2)二次型的标准形系数带负号的个数是二次型的负惯性指数。
解：由于f(x1,x2,x3)=x12-x22+2ax1x3+4x2x3
x12 +2ax1x3+a2x32-x22+4x2x3-(2x3)2+4x32-a2x32
( x1+ax3)2-(x2-2x3)2+(4-a2)x32.
因为f的负惯性指数为1，所以4-a20，故-2a2.
典型错误：部分考生不理解负惯性指数的概念，也有的考生不会将二次型化为标准形，无法确定负惯性指数，无法确定a的取值范围。
14）设总体x的概率密度为其中是未知参数，是来自总体的简单样本，若是的无偏估计，则常数。
答：应填。考点解析：本题考查估计量的无偏性。由于总体概率分布已知，可以利用公式直接计算出二阶原点矩，再根据无偏性的概念确定待定参数。
解：，所以，由于是的无偏估计，从而，故．
典型错误：没有掌握无偏性的概念，无法理解样本与总体的关系而不能解答本题。
三、解答题：15~23小题，共94分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15）（本题满分10分）
求极限．考点解析：本题考查含变限积分的未定式的极限，是基本题型。先用等价无穷小代换简化分母，然后利用麦克劳林公式或罗必塔法则求该未定式极限．
解法1： 解法2：本题也可以利用罗必塔法则求极限。
令，则原式=
16）（本题满分10分）
设平面区域．计算。
考点解析：本题考查二重积分的计算方法，主要应用二重积分的轮换对称性来简化计算，考查的是基本性质和基本方法。
解：由对称性可得。
典型错误：没有掌握二重积分的轮换对称性导致计算繁琐而出错。
17）（本题满分10分）
设函数具有连续导数，满足。
若，求的表达式．
考点解析：本题考查偏微分方程的初值问题。所涉及到的知识点包括：
（1）求抽象复合函数的偏导数的计算公式；（2）一阶线性非齐次微分方程的初值问题。此题计算量较大，但考查的是基本原理和公式。
解：设，则，由条件，可知。
这是一个一阶线性非齐次方程，通解为其中为任意常数．
将初始条件代入，可得．
所以的表达式为。
典型错误：计算不准确。
18）（本题满分10分）
求幂级数的收敛域及和函数．
考点解析：本题考查幂级数的收敛域与和函数，是常见题型。
解：由于，所以得到收敛半径．
当时，级数的一般项不趋于零，是发散的，所以收敛域为．
令和函数，则。
典型错误：幂级数求和是考生的薄弱环节，在计算时和函数表达式经常出现错误。
19）（本题满分10分）
设函数在区间上连续，且单调增加，，证明：
i）（ii）．
解：本题考查定积分的性质和利用单调性证明积分不等式，是对基本方法的考查。
i）证明：因为，所以．
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3 层次分明，难度和区分度合理。试卷注意不同层次试题的安排。整份试卷从易到难形成梯度，让不同水平的学生能力都能得到充分的发挥。第一层次考查基础知识 基本技能，学生能直接上手 第二层次是小范围的综合题，旨在考查最基本的数学方法和数学思想，以及逻辑思维能力 第三层次考查综合运用能力，包括知识综合 方法综...
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