2023年考研数学真题。
一、二、三汇编。
温馨提示数学一：1~12页。
数学二：13~22页。
数学三：23~33页。
2023年考研数学一真题与解析。
．下列曲线有渐近线的是。
ab）cd）
分析】只需要判断哪个曲线有斜渐近线就可以．
详解】对于，可知且，所以有斜渐近线。
应该选（c）
2．设函数具有二阶导数，，则在上（ ）
a）当时， （b）当时，
c）当时， （d）当时，
分析】此题考查的曲线的凹凸性的定义及判断方法．
详解1】如果对曲线在区间上凹凸的定义比较熟悉的话，可以直接做出判断．如果对区间上任意两点及常数，恒有，则曲线是凸的．
显然此题中，则，而，故当时，曲线是凸的，即，也就是，应该选（c）
详解2】如果对曲线在区间上凹凸的定义不熟悉的话，可令，则，且，故当时，曲线是凸的，从而，即，也就是，应该选（c）
．设是连续函数，则。
分析】此题考查二重积分交换次序的问题，关键在于画出积分区域的草图．
详解】积分区域如图所示。
如果换成直角坐标则应该是。
（a），（b）
两个选择项都不正确；
如果换成极坐标则为。
应该选（d）
．若函数，则。
详解】注意，所以。
所以就相当于求函数的极小值点，显然可知当时取得最小值，所以应该选（a）．
．行列式等于。
ab）cd）
详解】应该选（b）．
6．设是三维向量，则对任意的常数，向量，线性无关是向量线性无关的。
a）必要而非充分条件b）充分而非必要条件。
c）充分必要条件d） 非充分非必要条件。
详解】若向量线性无关，则，），对任意的常数，矩阵的秩都等于2，所以向量，一定线性无关．
而当时，对任意的常数，向量，线性无关，但线性相关；故选择（a）．
7．设事件a，b想到独立，则（ ）
a）0.1 （b）0.2c）0.3d）0.4
详解】．所以， ．故选择（b）．
8．设连续型随机变量相互独立，且方差均存在，的概率密度分别为，随机变量的概率密度为，随机变量，则。
a） （b）
c） （d）
详解】，故应该选择（d）．
9．曲面在点处的切平面方程为 ．
详解】曲面在点处的法向量为，所以切平面方程为，即．
10．设为周期为4的可导奇函数，且，则。
详解】当时，，由可知，即；为周期为4奇函数，故．
11．微分方程满足的解为。
详解】方程的标准形式为，这是一个齐次型方程，设，得到通解为，将初始条件代入可得特解为．
12．设是柱面和平面的交线，从轴正方向往负方向看是逆时针方向，则曲线积分。
详解】由斯托克斯公式可知。
其中取上侧，．
13．设二次型的负惯性指数是1，则的取值范围是。
详解】由配方法可知。
由于负惯性指数为1，故必须要求，所以的取值范围是．
14．设总体x的概率密度为，其中是未知参数，是来自总体的简单样本，若是的无偏估计，则常数。
详解】，所以，由于是的无偏估计，故，．
15．（本题满分10分）
求极限．分析】．先用等价无穷小代换简化分母，然后利用洛必达法则求未定型极限．
详解】16．（本题满分10分）
设函数由方程确定，求的极值．
详解】解：在方程两边同时对求导一次，得到。
即。令及，得到函数唯一驻点．
在（１）式两边同时对求导一次，得到。
把代入，得到，所以函数在处取得极小值．
17．（本题满分10分）
设函数具有二阶连续导数，满足．若，求的表达式．
详解】设，则，由条件，可知。
这是一个二阶常用系数线性非齐次方程．
对应齐次方程的通解为：
其中为任意常数．
对应非齐次方程特解可求得为．
故非齐次方程通解为．
将初始条件代入，可得．
所以的表达式为．
18．（本题满分10分）
设曲面的上侧，计算曲面积分：
详解】设取下侧，记由所围立体为，则高斯公式可得。
在取下侧上，所以=
19．（本题满分10分）
设数列满足，且级数收敛．
1） 证明；
2） 证明级数收敛．
详解】1）证明：由，及可得。
所以，由于级数收敛，所以级数也收敛，由收敛的必要条件可得．
2）证明：由于，所以。
由于级数收敛，由正项级数的比较审敛法可知级数收敛．
20．（本题满分11分）
设，e为三阶单位矩阵．
1） 求方程组的一个基础解系；
2） 求满足的所有矩阵．
详解】（1）对系数矩阵a进行初等行变换如下：
得到方程组同解方程组。
得到的一个基础解系．
2）显然b矩阵是一个矩阵，设。
对矩阵进行进行初等行变换如下：
由方程组可得矩阵b对应的三列分别为，即满足的所有矩阵为。
其中为任意常数．
21．（本题满分11分）
证明阶矩阵与相似．
详解】证明：设， ．
分别求两个矩阵的特征值和特征向量如下：
所以a的个特征值为；
而且a是实对称矩阵，所以一定可以对角化．且；
所以b的个特征值也为；
对于重特征值，由于矩阵的秩显然为1，所以矩阵b对应重特征值的特征向量应该有个线性无关，进一步矩阵b存在个线性无关的特征向量，即矩阵b一定可以对角化，且。
从而可知阶矩阵与相似．
22．（本题满分11分）
设随机变量x的分布为，在给定的条件下，随机变量服从均匀分布．
1） 求的分布函数；
2） 求期望。
详解】（1）分布函数。
当时，；当时，；
当时，；当时，．
所以分布函数为。
2）概率密度函数为，23．（本题满分11分）
设总体x的分布函数为，其中为未知的大于零的参数，是来自总体的简单随机样本，1）求；（2）求的极大似然估计量．
３）是否存在常数，使得对任意的，都有．
详解】（１先求出总体x的概率密度函数。
２）极大似然函数为。
当所有的观测值都大于零时，令，得的极大似然估计量为；
３）因为独立同分布，显然对应的也独立同分布，又有（１）个可知，由辛钦大数定律，可得，由前两问可知，，，所以存在常数，使得对任意的，都有．
2023年考研数学二真题与解析。
．当时，若，均是比高阶的无穷小，则的可能取值范围是（ ）
a） （b） （c） （d）
详解】，是阶无穷小，是阶无穷小，由题意可知。
所以的可能取值范围是，应该选（b）．
2．下列曲线有渐近线的是。
a） （b）（c） （d）
详解】对于，可知且，所以有斜渐近线。
应该选（c）
3．设函数具有二阶导数，，则在上（ ）
a）当时， （b）当时，
c）当时， （d）当时，
分析】此题考查的曲线的凹凸性的定义及判断方法．
详解1】如果对曲线在区间上凹凸的定义比较熟悉的话，可以直接做出判断． 显然就是联接两点的直线方程．故当时，曲线是凹的，也就是，应该选（d）
详解2】如果对曲线在区间上凹凸的定义不熟悉的话，可令，则，且，故当时，曲线是凹的，从而，即，也就是，应该选（d）
4．曲线上对应于的点处的曲率半径是（ ）
详解】 曲线在点处的曲率公式，曲率半径．
本题中，所以，对应于的点处，所以，曲率半径．
应该选（c）
5．设函数，若，则（ ）
详解】注意（1），（2）．
由于．所以可知，6．设在平面有界闭区域d上连续，在d的内部具有二阶连续偏导数，且满足及，则（ ）
（a）的最大值点和最小值点必定都在区域d的边界上；
（b）的最大值点和最小值点必定都在区域d的内部；
（c）的最大值点在区域d的内部，最小值点在区域d的边界上；
（d）的最小值点在区域d的内部，最大值点在区域d的边界上．
详解】在平面有界闭区域d上连续，所以在d内必然有最大值和最小值．并且如果在内部存在驻点，也就是，在这个点处，由条件，显然，显然不是极值点，当然也不是最值点，所以的最大值点和最小值点必定都在区域d的边界上．
所以应该选（a）．
7．行列式等于。
a） （b） （c） （d）
详解】应该选（b）．
8．设是三维向量，则对任意的常数，向量，线性无关是向量线性无关的。
a）必要而非充分条件b）充分而非必要条件。
c）充分必要条件d） 非充分非必要条件。
详解】若向量线性无关，则，），对任意的常数，矩阵的秩都等于2，所以向量，一定线性无关．
而当时，对任意的常数，向量，线性无关，但线性相关；故选择（a）．
详解】．10．设为周期为4的可导奇函数，且，则。
详解】当时，，由可知，即；为周期为4奇函数，故．
11．设是由方程确定的函数，则。
详解】设，，当时，，，所以．
12．曲线的极坐标方程为，则在点处的切线方程为。
详解】先把曲线方程化为参数方程，于是在处，，，则在点处的切线方程为，即。
13．一根长为1的细棒位于轴的区间上，若其线密度，则该细棒的质心坐标 ．
详解】质心坐标．
14．设二次型的负惯性指数是1，则的取值范围是。
详解】由配方法可知。
由于负惯性指数为1，故必须要求，所以的取值范围是．
15．（本题满分10分）
求极限．分析】．先用等价无穷小代换简化分母，然后利用洛必达法则求未定型极限．
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