清华大学本科生考试试题专用纸。
微积分ⅲ期终考试 a卷2023年 1 月8 日。
姓名学号班级。
一、填空题（每空题3分，共39分）
1．曲面在点的切平面方程是。
2．设为连续可微函数，.令，则 (4,2,2) 。
解：，，3．设为球面上的不与坐标轴相交的一片，则上的点的外侧单位法向量是；如果的面积等于，则。
解：,.原积分。
4．常微分方程的通解为。
5．设常微分方程有三个线性无关解，和．则微分方程的通解是。
6．假设函数满足方程．则0 。
7．设空间光滑曲面的方程为，，上侧为正．其中函数有连续的偏导数．则。
解： .8．设，则三重积分可以化成球坐标系下的累次积分。
9．是由曲线、直线，以及轴围成的平面区域，则．
解： ．10．锥面含在柱面内部的面积等于。
11．设为曲线，则。
解： 二、解答题。
12．(８分) 是锥面与平面围成的空间区域．计算。
解。 解法１：先一后二：
由对称性有。分。分。
分。解法２：先二后一：
分。其中是区域分。
分。13．（１分）设是抛物．在任意点一点的质量密度为．求的质心．
解。求质量分。分 分。
静力矩。有对称性知道分。分。分。
分。质心的坐标分。
有同学理解成三重积分。如果质量和静力矩写到下面的结果：
则可以得8分。其后视具体情形而定。
1４．(10分)如图，是有向光滑曲线，起点为原点，终点为．已知与线段围成的区域的面积等于．有连续导数．计算曲线积分。
解：根据格林公式得到。
于是。对于后一个积分，取为参数．，．
.10分。15． (8分)设为平面在第一卦限中的部分的边界，方向是．空间有一个力场。
求单位质点在上某点出发，绕运动一周时，对于质点所做的功．
解：设上侧为正．由斯托克斯公式， 单位质点在上某点出发，绕运动一周时，对于质点所做的功等于。
3分。16．(10分)设在上有二阶连续导数且又设对于空间中的任意一张光滑的闭合曲面，都有，求．
解：由题意，在任意一个由光滑简单封闭曲面围成的区域上，由高斯公式有。
分。所以由的任意性有。
分。即满足常微分方程．
齐次方程通解：，非齐次方程特解．一般表达式。
分。17． (12分)
设是任意一个正数，是圆周 (逆时针方向).计算积分。
如果将换成不经过原点但环绕原点的光滑、简单的闭合曲线(逆时针方向)．计算上述积分。
向量场在右半平面有没有势函数？简述理由。
设为从到的有向线段，计算
解： 圆周参数方程：
分。 在内部做圆周 (逆时针方向)．设为和包围的区域．由格林公式得到。所以。分。
右半平面是单连通区域，并且．所以在右半平面有势函数．
分。 求得向量场的势函数为。于是。分。
18．(６分) 设是圆域： .在上有连续偏导数， 且处处满足方程
求证在恒等于常数．如果是不包含原点的圆域，举例说明上述结论未必正确。
解：按照下列三个要点给分．
要点 1: 由条件推出沿径向的方向导数恒等于零。
要点２：进而推出在过原点的任意直线上恒等于常数。
要点３：在原点连续，又推出在所有直线上都相等。
2023年一月
2014年全椒县教研室工作计划。一月。1.2013 2014年度第一学期全县教研片材料汇编 2.组织全县中学期末考试工作 3.组织省 市级课题结题工作 4.完成2013年工作总结和2014年工作计划 5.2013 2014年度第二学期教研片工作计划 6.兼职教研员工作总结 教研片工作小结。二月。1....
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