问题集。
1 余子式与代数余子式有什么特点？他们之间有什么联系？
答特点：对于给定的阶行列式d，第行第列元素的余子式和代数余子式仅与位置有关，而与的大小和正负无关。
2若矩阵，则行列式。
是否成立？答最后一个等号不成立。一般情况下，，譬如。
.有，而，即。
类似的可以验证。
3 克莱姆法则适合于解什么样的线性方程组？
答适合于线性方程组，且系数行列式的情况。
4如果行列式d的某两行（列）对应元素成比例，则。其逆命题是否成立？
答否。例如，但是，d的任意两行（列）的对应元素都不成比列。
5 齐次线性方程组有无穷多解，需要什么条件？
答若齐次线性方程组有无穷多解，即有非零解，则必有，反之，若，则有无穷多解。
6 关于下面行列式。
的计算是否正确？
解将第1，2行都乘以（-1）加到第3行上，并且同时把第1行及第3行乘以（-1）加到第2行，得。
答本解法的错误在于没有完成上一步的基础上来做下一步，而是从原来的行列式出发。结果本应对运算“将第1，行均乘以（-1）加到第3行上”得到的行列式的第3行进行“第3行乘以（-1）加到第2行”的运算，却把原行列式的第3行“乘以（-1）加到新行列式的第2行”.
正确解法： 将第1，2行均乘以（-1）加到第三行上，然后按第1列展开。
7 如果线性方程组的系数行列式等于0，那么能不能说非齐次线性方程组有无穷多解？
答对于方程组个数和未知数个数一样多线性方程组，方程组的系数行列式不等于0是线性方程组有唯一解的充分必要条件。因此，如果线性方程组的系数行列式等于0，可以说方程组没有唯一解。但克莱姆法则并没有回答线性方程组的系数行列式等于0是，方程组的形态。
例如方程组的系数行列式等于0，方程组无解；而方程组的系数行列式等于0，方程组有无穷多解。
8 计算四阶行列式是，能否按三阶行列式的对角线法则进行？
答不能。二阶、三阶、行列式有对角线法则，但是不适用于四阶及其以上的行列式，它们只能利用行列式的性质进行计算。
例如，对于。
但是，若按照类似于。
二、三阶行列式的对角线法则，却有。
9在一个阶行列式中等于零的元素个数如果比还多，那么此行列式的值等于零，为什么？
答因为阶行列式有个元素，若零元素多于，即非零元素少于个，而行列式的展开式中的没一项都包含个元素，在这个元素中必然包含零元素，所以此行列式的值等于零。
10 计算行列式时，下面计算过程是否正确？
解利用性质“某行（列）的倍加到另一行上去，行列式值不变”，将第。
一行乘以2加到第2行的对应元素上，有。
从而。答错误。将“某行（列）的倍加到另一行上去”是一个运算步骤，而不是“先将某行乘以倍”后，再“加到另一行的对应元素上去”.
正确解法：11 矩阵和行列式的区别是什么？
答矩阵与行列式是两个完全不同的概念。矩阵是一个矩形的数表，它的行数和列数不一定相等；而行列式则代表一个数，它的行数和列数必须相等，在很多运算规律上页不尽相同。
12若和是同阶对称矩阵，是否一定为对称矩阵？
答不一定，如都是对称方阵，但却不是对称矩阵。
13 若和是同阶可逆矩阵，是否一定可逆？
答不一定，如都是可逆方阵，但却不可逆。
14 矩阵乘法是否满足消去律？即若，且，是否有？
答矩阵乘法不满**换律。如对矩阵显然有但。
若且为可逆方阵，则在等式两边同乘，可得。
15在求矩阵的逆矩阵时，下列解法是否正确？
解方法一由于存在，又故。
方法二所以 .
答两种解法均错误。方法一的错误又两处，一是没有注意代数余子式的符号，应为二是伴随矩阵中的元素排列顺序，应为从而方法二在于利用求逆矩阵是，要使用初等行变换才可以，其错误表现在第一步和第三步都使用了初等列变换。
16 是否任何一个阶方阵都可表示为一对称矩阵和与一反对称矩阵之和？
答要使，其中为对称矩阵，为反对称矩阵，对求转置得由此得矩阵方程组为实对称矩阵，为反对称矩阵。
因此，即为满足要求的对称矩阵和反对称矩阵。
17为什么矩阵乘法不满**换律？
答首先，不是任意两个矩阵都能相乘，ab有意义的条件是a的列数必须等于b的行数；当ab有意义时，ba未必有意义。其次，即使ab和ba都有意义，两者页未必相等，如所以，矩阵的乘法有左乘和右乘之分，乘法运算的时候次序不可能随意颠倒。但如果则称a和b可交换，例如，阶数量矩阵可以与任意阶矩阵交换。
18 设和是矩阵，问成立的充要条件是什么？
答因为，所以等式成立的充要条件是，即和可交换。
19 当时，是否有或？
答当时，不一定有或。如矩阵。
但。当然，当，且为可逆方阵，则在等式两边同乘，可得。同理若，且为可逆方阵，则在等式两边同乘，可得。
20 由能否推出？
答不能。从知由上一问题知此时得不到即的结论。
21 判断是否相等？
答不等。根据的定义，现在行列式中的每一行都有公因数，再根据行列式的性质一行有公。
公因数就可把提到行列式记号之外。因此。对于矩阵是所以元素都有公因数才可把其提到矩阵记号之外，二行列式只需一行即可，矩阵与行列式的差异要搞清。所以。（只要）
22 如果是否可以推出？
答不能。例如取。
但。23 命题“如果”是否正确？
答不正确。例如，设显然，但。因为时，其中元素可以不为0，但时，必有。
24 什么叫对称矩阵和反对称矩阵？各有何特点？
答若为阶方阵，且满足，则称之为对称矩阵。对阵矩阵的特点是：它的元素以对角线为对称轴对应相等。
若为阶方阵，且满足，则称之为反对称矩阵，反对称矩阵的特点是：它的主对角线上的元素全为零，且以主对角线为对称轴的两元素互为相反数。
25奇数阶反对称矩阵的行列式是否等于零？
答奇数阶反对称矩阵的行列式必等于零，事实上，若是阶的反对称矩阵，即，两边取行列式，并利用行列式的性质，得从而有 .
26 阶方阵和阶行列式之间的关系有那些？
答 （1） 若为阶方阵，则有，这里表示行列式；；
2） 设，是两个阶方阵，则；
3）当为阶方阵时，27 如何理解线性相关和线性无关的概念？
答线性相关的否定是线性无关。这一对概念是线性代数的最重要的概念之一，也是使读者感到较困难之处，首先，应完全理解线性相关的定义，理解它的几何意义。两个向量线性相关就是它们在一条直线上，二三个向量线性相关就是它们在一个平面上。
其次，应能熟练的运用定义和定理来判断线性相关性。这一点可结合后面的例题。再者，应能理解线性相关性的本质，这方面可结合矩阵的秩与线性方程组解的存在性来认识。
从向量的角度来看，线性相关的本质是：一组向量线性相关等价于其中存在一个向量可由其余向量线性表示，线性相关与线性表示是一回事；二从其反面看，一组向量线性无关等价于这组向量中找不到其余向量线性表示，也就是说，这组向量中没有多余的。
28 如何正确理解向量的秩和极大线性无关组？
答这两个概念是矩阵的秩的概念和向量组线性相关的概念的延伸余展开。向量组的秩余向量的线性相关性有紧密联系，它表明向量组中极大无关组所含向量的个数，因此向量组的秩是刻画向量组线性相关性的一种数量指标。
一般地，一个矩阵就是一个向量组，即以该矩阵的每一行（或）列作为向量的行（或列）向量组，反过来，一个向量组就是一个矩阵，即以每个向量作为行（或）列所形成的矩阵。有了这个理念，对矩阵的秩、向量组的线性相关性、向量组的极大无关组等重要概念的理解，就变得自然和简单明了。
多了。一个向量组的秩就是它所对应的矩阵的秩。因此，求一个向量组的秩就自然转化为求矩阵的秩的问题，这时初等变换法就显示了威力。
再者，一个向量组线性无关的充要条件是其满秩，即有该向量组组成的矩阵的秩等于向量个数，或者说，一个向量组线性相关的充要条件是其不满秩，即相应矩阵的秩小于向量的个数》
至于极大无关组，向量组的一个极大无关组所含向量个数就是相应矩阵的秩。因此，在计算上，将该向量组依次作为列向量形成矩阵，通过初等变换确定矩阵的秩，在寻找一个与秩同阶的非零子式，那么该子式所在的各个列向量就构成原向量组的一个极大无关组。
29若只有当全为零时，等式才成立，则向量组线性相关，向量组也线性相关。对否？
答不对。例如： 取向量组线性无关，向量组，等式只有在全为零时才成立。由题设，只能得到向量组是线性无关的。
30 若向量组线性无关，则向量组是否线性无关？又若向量组线性无关，则向量组是否线性无关？
答易证当线性无关时，也线性无关。但当线性无关时，却是线性无关的。因为。
31 命题“若果线性相关，那么其中每个向量都是其余向量的线性组合”是否正确？
答不正确。例如设显然该向量组线性相关，但是不能表示成为向量与的线性组合。
32 基础解系的注意作用是哪些？
答它是刻画一个线性方程组的解空间的一种方式。齐次线性方程组的全部解可由用它的一个基础解系的线性组合表示出来。非齐次线性方程组可以用它的一个特解与它的导出组的全部解之和来表示。
可见，基础解系是线性方程组的解的基础。注意：基础解系不是唯一的，但一般只要求出其中之一就行。
33 与基础解系等价的线性无关的向量组仍是基础解系吗？
答是。因为齐次线性方程组的解向量的线性组合仍为解向量，故与基础解系等价故与基础解系等价的向量组都是解向量，并且每个解向量都可由基础解系线性表示。由于它们优势线性无关的，所以也是基础解系。
34 齐次线性方程组是线性方程组的导出组，则有非零解时，一定有无穷多个解吗？
答不一定。必须在有解的前提下，才能说有非零解时有无穷多个解。
35 如何将线性方程组的语言、向量的语言、矩阵的语言连成一个整体，实现三者之间的相关转化？
答这也是整个线性代数的难道之一。
对一个有个方程个未知量的线性方程组，其增广矩阵为，设的行向量组为。若它们线性相关，则存在一个，它是其余向量的线性组合。于是第个方程就可由其余的方程线性表示，这样，第个方程成为多余的方程，可以从方程组中删掉。
假。若线性无关，则找不到一个能写成其余向量的线性组合，于是，方程组中没有一个方程可以被其余方程线性表示，即不存在多余的方程。
可见，向量组的线性相关性反映的是线性方程组中方程间的线性表示，即是否存在可删去的方程。而向量组的一个极大无关组，则反映了有线性方程组中部分方程所构成的与原方程组同解的一个“最简”方程组。那么矩阵的秩（或者行向量组的秩）就是这样一个“最简”方程组中所含方程的个数。
为了研究线性方程组解的存在性与唯一性，才引入所谓线性相关性、秩、极大无关组等基本概念。使用了这些概念，不仅可以圆满地解决线性方程组的问题，还使我们更深刻地认识了线性方程组。
譬如，设线性方程组系数矩阵的列向量组为，那么有解的充要条件就是可由线性表示，也就是两向量组与等价，也就是的秩等于的秩。
我们还可以对可逆矩阵有更全面的认识。一般地，设为阶矩阵，那么可逆存在使的行（列向量组线性无关） 线性方程组有唯一解。
36由能判定线性无关吗？
答这是在判断一组向量线性无关时，常出现的错误。
一般地，对任一组向量，等式均成立。而由线性无关的定义可知：只有当不存在不全为零的数使得时，才能判定向量组线性无关。而由并不能说明这一点。
37 命题“向量组线性无关的充要条件是任一两个向量线性无关”是否正确？若正确，证明之；若不正确，举出反例或说明之。
答必要性显然成立。但充分性不然。例如取显然其中任意两个都线性无关，但是却是线性相关的。
38已知等价的向量组有相同的秩，问：有相等的秩的两个向量组是否一定等价？
答不一定。譬如，向量组与向量组的秩均为2，由于向量不能由向量组线性表示，所以这两个向量组并不等价。
39 是矩阵a的一个特征根，则得任一解向量均为a的对应于的特征向量吗？
答非零向量是，因为特征向量一定是非零向量。
40 当同阶方阵a，b有相同的特征多项式时必相似，正确吗？
答错。对于同阶的实对称矩阵a，b，论述是正确的。但对于同阶的非实对称矩阵a，b来说，当a与b有相同的特征多项式时，a与b未必相似。
例如尽管它们有相同的特征多项式，但显然a与b不相似。
41 矩阵的秩等于他的非零特征值的个数（重数照算），这个结论是否正确？
答不正确，譬如，a的特征值全为零，亦即没有非零特征值，但a的秩为1.正确命题为：矩阵的非零特征值个数（重数照算）小于等于矩阵的秩。
42 阶矩阵a的非零特征值的个数必为吗？
答不正确。对于阶实对称矩阵a来说，a的非零特征值的个数必等于矩阵a
秩，这一说法是正确的。但是对于非实对称矩阵，其非零特征值的个数未必等于它的秩。例如由知a的特征值中非零特征值的个数为1，但（因为），故a的非零特征值的个数并不等于。
43 不同矩阵的特征根一定不同吗？
答不一定，因为相似矩阵的特征根相同。
44 如果阶方阵a的特征值都是零，是否有？
答否。当阶方阵a的特征值都是零时，必有，但是未必有。譬如。
显然的特征值都是零：，但是。
45 如果阶a有个互不相同的特征向量，则a可以与对角阵相似吗？
答不一定。a的特征向量必有无穷多个，但需要有个线性无关a才可以与对角矩阵相似。
46 如果对于任意的二次型的值恒大于零，二次型是否正定？
答未必正定。按照定义，对于一组不全为零的，总有时，才称二次型是正定的。但是对于全不等于零的，尽管恒有，也不能说二次型式正定的。
例如，取二次型对任意的恒有，但是取时，，故不是正定的。
47 是不是任何方阵都能够对角化？
答不是，譬如不能对角化。 阶方阵a有个线性无关特征向量才能对角化。
48 考虑二次型的矩阵表达式时，下列比表达式是否正确答错。仅当矩阵a为对称矩阵时，才称为的矩阵表达式。上述解法中的矩阵a不是对称矩阵，因此上式不是的表达式。正确的表达式是。
49 相似矩阵定义中的可逆矩阵是唯一的吗？
答不是唯一的，例如取 .
50 若方阵a与b是相似方阵，则a与b有相同的特征多项式。反过来，a与b有相同的特征多项式，则a与b是否相似？在什么条件下必定相似？
答可能相似，譬如；
可能不相似，譬如。
当方阵a与b都能对角化时，若他们有相同的特征多项式，则必定相似。
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