海南大学2024年研究生入学考试。
数学分析a卷参***和评分标准。
一、选择题 (每小题3分，共15分)
二、填空题 (每小题4，共20分)
1、已知，则答案】
2、曲面的平行于的切平面的方程___
3、幂级数的收敛半径为答案】
4、设函数具有二阶连续偏导数， ，则。
答案】： 5、计算曲线积分其中为与轴所围成的封闭曲线，依顺时针方向答案】 2
三、计算题 （共80分）
1、（本小题共10分）求极限。
解】……5分。
而。故原式为10分。
2、（本小题共10分）设函数，其中有二阶导数，且，（1）求；（2）讨论在上的连续性。
解】（1）当时， …2分。
当时，由导数的定义和洛必达法则。
所以5分。（2）在处，有。
而在处是连续函数，因此，在上为连续函数。 …10分。
3、（本小题共10分）求不定积分。
解： 5分。
10分。4、（本小题共8分）设，其中为由方程所确定的隐函数，求及。
解】由方程，得2分。
4分。因此10分。
5、（本小题共8分）用余弦级数展开，并求的和。
解】 由为偶函数，则对………2分。
4分。所以6分。
取，得所以10分。
6、（本小题共10分）过坐标原点作曲线的切线，该切线与曲线及轴围成平面图形。（1）求的面积；（2）求绕直线旋转一周所得旋转体的体积。
解】 (1) 设切点的横坐标为，则曲线y=lnx在点处的切线方程是。
2分。由该切线过原点知，从而所以该切线的方程为。
平面图形d的面积4分。
2） 切线与x轴及直线所围成的三角形绕直线旋转所得的圆锥体积为6分。
曲线与轴及直线所围成的图形绕直线旋转所得的旋转体体积为8分。
因此，所求旋转体的体积为
………10分。
7、（本小题共10分）求其中。
解4分。………8分。
10分。8、（本小题共10分）计算曲面积分，其中是圆锥曲面被平面所截部分的外侧。
解】由高斯公式知。
4分。………10分。
四、证明题 (共35分)
1、（本小题共10分） 已知数列满足证明收敛，并求极限。
【证明】 由，可知有下界………4分。
又，为单调递减数列，从而存在……8分。
设，有，解得10分。
2、（本小题共10分）设函数在上连续，在内具有二阶导数且存在相等的最大值，。证明：存在，使得。
【证明】构造函数，有。 又在内具有相等的最大值，设，使得。
2分。若，令， 则若，因。
4分。从而存在，使在区间上分别利用罗尔定理知，存在，使得8分。
再对在区间上应用罗尔定理，知存在，有， 即10分。
3、（本小题共5分）用一致连续的定义证明：函数在内不一致连续。
证明】对于函数，取，对无论多么小的正数，只要取2分。
则虽有，但因此，在内不一致连续。
………5分。
4、（本小题共5分）证明：设，若对每一个正整数都有，则在上一致收敛于。
【 证明】 对任意及正整数，有。
故3分。又，有，因此在上一致收敛于5分。
证明】 由于3分。
而反常积分收敛，由魏尔斯特拉斯m判别法，原积分一致收敛。……5分。
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