2.44-a存在某些子集的 r 的区分，因为他们不共享的所有实数的特殊属性。在本节中，我们将讨论两个这样的子集、 整数、 有理数。
若要引进的正整数，我们开始数字 1，在其存在的公理 4 保证。2、 2++ 3 1 的数由表示数字 1++ 1，依此类推。数字 1 2、 3，… 以这种方式获得的重复加 1 的是积极的而他们则称为正整数。
严格地说，这说明的正整数还没有完全完成因为我们已经没有详细解释我们"等等"，什么意思表达。
或者"重复加 1"。虽然直观的表达意义上去很清晰，实数系统精心**有必要给的正整数更精确的定义。有许多方法来执行此操作。一种方便的方法是先介绍一个感应集的概念。
感应集的定义。实数集称为感应集，如果它具有以下两个属性：
a) 1 号是集。
b) 在一组，每个 x 数字 x + 1 是还在一组。
例如，r 是归纳的组。所以是 r + 一组。现在我们将定义为那些属于每个感应集的实数的正整数。
definition 的正整数。实数称为一个正整数，如果它属于每一个感应集。
让 p 表示这个集合的所有的正整数。然后，p 是本身感应集因为 (a) 它包含 1，并且 (b) 它包含 x + 1，每当它包含 x。由于 p 成员属于每个感应集，我们称之为 p 的最小的感应集。
此属性的设置 p 形成一种类型的推理逻辑基础诱导，详细的讨论，其中有 4 部这个介绍数学家调用证明的。消极的正整数称为负的整数。正整数，连同负整数和 0(zero)，从我们称之为简单的整数集设置 z。
实数系统彻底**，它会有必要在此阶段，证明某些定理的整数。例如，sum、 差异，或产品的两个整数，但两个整数的商不需要是一个整数。然而，我们不应进入该等债权证明表的详细信息。
整数的商 / b （其中 b 0) 被称为有理数。有理数，由 q，表示的一组包含 z 为子集。读者应意识到由 q 满足所有字段公理和顺序公理。
为此，我们说的有理数集是一个有序的字段。不在 q 的实数称为非理性。
4-b读者是无疑熟悉实数的一条直线上的点的几何表示形式。代表 0，有权代表 1，在图 2-4-1 所示的 0 及另一人，选择一个点。此选项确定规模。
如果一个采用一套合适的欧几里德几何公理，然后每个真实的数字对应于这条线上的一个点，相反，在行上的每个点对应于一个且仅一个实数。为此线通常称为真正的直线或实轴，而且很习惯使用单词实际数量和互换点。因此我们经常讲点的 x，而不是点对应的实数。
实数的订购关系有一个简单的几何解释。如果 x < y、 点 x 位于左侧的点的 y，如图 2-4-1 所示。正数躺到左侧的 0 0，负数的权利。
如果 < b、 点 x 满足不等式 < x < b 当且仅当 x 是之间和 b。
此设备的几何表示实数是非常有价值的工具，有助我们去发现和更好地了解实数的某些属性。然而，读者应意识到必须将所有属性都被视为定理的实数的推断出从不涉及任何几何公理。这并不意味着人不应该让几何研究的实数属性中的使用。
相反，几何往往表明特定的定理证明的方法和有时几何参数是比纯粹的解析证明 （一个完全取决于公理的实数） 更加出色。在这本书中，几何参数用于很大程度上有助于激励或澄清特定的讨论。不过，所有的重要定理的证明以解析的窗体。
4 c首先，让我们把注意力转移到分数。你肯定见过表达式"一半"和"季度"，分母等于 2 或 4 时使用它们。1/3 是读"三分之一"。
其他分数是以相同的方式读取的。因此，我们读 1/5,1/6,1/7,1/10,1/25,1/100 为五分之一，六分之一，六分之一、 七分之一，十分之一，1:25 上午和百分之一。
这些表达式被视为名词，因此可能产生的复数形式。因此，我们作为三分之二 ； 读了 2/3同样 5 6,9 105/100 是读取六分之五、 九十分之五百分之一。但是，如果分母的最后一位是 1 或 2，然后我们不要读分数以上述方式。
例如，我们宣布 5/21 作为"五个超过 21"。此方法还在其它情况下使用。如果分数不是一项共同 (年或 501/2023年），然后我们说"一对千和 89 个"或"五一百以上十二百和五"。
下一步，让我们检查小数。他们是很简单的发音。只读取数的整数部分普通的方式，然后说"点"（代表"小数点"），然后后另读取一个小数位。
因此 12.65 读取十二-点-六-五 ； 正确，6 位小数，等于 three-point-one-four-one-five-nine-two，正确的五个重要的数字，等于 three-point-one-four-one-six。小于一个小数部分时，一般不写了，例如，0.
56，但仅限于英格兰。56）。56 读"点-5-6"，.
0007 读"点-团团转-团团转-团团转-七"或通常更-三-0 的七。
现在代数表达式，分数再次读取"指针经过"。（2a-1)/(ax+b) 对 ax + b 读取 2a-1 和括号表示"到"一词如 （a+b)(a-b) 读"加进减号 b b"。权力指数或指数由表示。
"平方"和 3"桂鱼"，或"到第三个"指数的读取索引 2。其它指数"，第四，第五，减号第二部分，第 n，以"读取。身份 ^3++ b ^3 = b)(a^2-ab+b^2) 读取"多次元的罗宋汤的脓 b 到平方的 ab 加 b 平方等于 a + b"。
或与方程 x^(-2/3) +2 = 0 读取"x，减号的三分之二，加上第五根的平方等于零"。
函数的导数和它的几何意义]
8-a 函数的导数。
前一节中描述的例子给出了引进导数概念的方法。我们从至少定义在x-轴上的某个开区间（a,b）内的函数f(x)开始，然后我们在这个区间内选择一点x，引进差商。
这里，数h (可以是正的或者负的但不能是0）要使得x+h还在（a, b）内。这个商的分子测量了当x从x变到x+h时函数的变化。称这个商为f在连接x与x+h的区间内的平均变化率。
现在让h→0，看看这个商会发生什么。如果商趋于某个确定的值作为极限（这就推得无论h是从正的方向还是负的方向趋于0，这个极限是一样的），成这个极限为f在x点的导数，记为f / x)（读作“f一撇x”）。因此，f / x)的正规定义可以陈述如下：
导数定义。如果。
存在极限，导数f / x)由等式（8.2）定义。数f / x)也称为f在x点的变化率。
对比（8.2）与前一节的（7.3），我们看到瞬时速度仅仅是导数概念的一个例子。
速度v(t)等于f / t)，这里f是位移函数，这就是常常被描述为速度是位移关于时间的变化率。在7.2节算出的例子中，位移函数由等式f (t)=144t-32t2表示，而它的导数f / 是由 f / t) =144-32t给出的新的函数（速度）。
一般地，从f(x)产生f / x)的极限过程给我们从一个给定函数f获得一个新函数f / 的方法。这个过程称为微分法，f / 称为f的一阶导数。依次地，如果f / 定义在开区间上，我们可以设法求出它的一阶导数，记为f //并称其为f的二阶导数。
类似地，由f (n-1)定义的一阶导数是f的n阶导数记为f (n)，我们规定f (0)= f，即零阶导数是函数本身。
对于直线运动，速度的一阶导数（位移的二阶导数）称为加速度。例如，要计算7.2节中的例子的加速度，我们可以用等式（7.2）形成差商。
因为这个差商对每一个h≠0都是常数值-32，因此当h→0时它的极限也是-32.于是在这个问题中，加速度是常数且等于-32. 这个结论告诉我们速度是以每秒32尺/秒的速率递减的。
9秒内，速度总共减少了9·32=288尺/秒。这与运动9秒期间，速度从v(0)=144变到v(9)=-144是一致的。
8-b 导数作为斜率的几何意义。
通常定义导数的过程给出了一个几何意义，就是以自然的方式导出关于曲线的切线的思想。图2-8-1是一个函数的部分图像。两个坐标(x,f(x)) 和(x+h,f(x+h))分别表示p, q两个点坐标，考虑斜边为pq的直角三角形，它的高度：
f(x+h)- f(x)，表示p, q两个点纵坐标的差，因此差商。
表示pq与水平线的夹角α的正切，实数tanα称为通过p, q两点直线的斜率，而它提供了一种测量这条直线“陡度”的方法。例如，如果f是线性函数，记为f=mx+b，则（8.4）的差商是m, 所以m是这条直线的斜率。
图2-8-2表示的是一些各种斜率的直线的例子。对于水平线而言，α=0，因而tanα也是0. 如果α位于0与π/2之间， 直线是从左到右上升的，斜率是正的。
如果α位于π/2与π之间，直线是从左到右下降的，斜率是负的。对于α=π4的直线，斜率是1. 当α从0增加到π/2时，tanα递增且无界，斜率为tanα相应的直线趋于垂直的位置，因为tanπ/2没有定义，所以我们说垂直的直线没有斜率。
假设f在x点有导数，这就意味着，当h→0时，p点保持不动，q沿曲线向p移动，通过p, q两点直线不断改变方向，结果其斜率趋于极限f / x)。基于这个原因，将曲线在点p的斜率定义为数f / x)似乎是自然的。通过p点具有这个斜率的直线称为过点p的切线。
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