海淀期末试卷讲评

2010－2011海淀区高三数学（理）期末试卷分析。

首师大附中李大永。

考题6】．由数字0，1，2，3，4，5组成的奇偶数字相间且无重复数字的六位数的个数是。

a． 72 b. 60 c. 48 d. 12

分析】：本题反映出学生对计数的常规方法与策略掌握的熟练程度。

法1：抓住关键词句“奇偶数字相间”的意义，可获得六位数的构成特点：“奇偶奇偶奇偶”或“偶奇偶奇偶奇”，注意特殊数字“0”不能在首位，按属性填充数字可得。

法2：由关键词句“奇偶数字相间”联想到插空模型，先确定奇数次序，然后按条件插空，

考题7】. 已知椭圆：，对于任意实数，下列直线被椭圆所截弦长与：被椭圆所截得的弦长不可能相等的是。

a． b． c． d．

分析】本题主要考查学生对椭圆的对称性的认识，此外还考查了学生对全称命题的理解。

由椭圆的对称性可知，直线，，与分别关于原点、y轴、x轴对称，无论取何值它们被椭圆截得的弦长都相等，在时，选项a,c的直线与：分别关于x轴、y轴对称。所以排除法可得只有d不可能。

也可直接判断选项d的直线最特殊，它在任何情况下与已知直线：都不存在关于原点或x，y轴的对称性，且两直线处于平行位置，直线截得的弦小于：被椭圆所截得的弦长。

考题8】. 如图所示，在正方体abcd－a1b1c1d1中，e是棱dd1的中点，f是侧面cdd1c1上的动点，且b1f//面a1be，则bf与平面cdd1c1 所成角的正切值构成的集合是

ab. c. d.

分析】本题考查学生对平行、垂直位置关系的相关结论的。

综合运用、线面角的概念的的理解，重点考查空间想象能力。

由b1f//面a1be，可得点与点的轨迹所在的平面。

与平面a1be平行，所以点的轨迹为棱中点的连线，由正方体的性质可得bf与平面cdd1c1 所成角的正切值为，令。

所以选c.点评】正方体是学生最熟悉的几何体，它不仅是我们教学中学习平行、垂直等位置关系时，经常使用的载体，也是训练空间想象力的绝佳载体，而且它还是思考、判断空间位置关系的重要空间思维载体。因此，在高考中，经常以它为几何背景考查空间想象力。

拓展问题】1.如图，动点在正方体的对角线上．过点作垂直于平面的直线，与正方体表面相交于．

1）设，，则函数的图象大致是（ b ）

2）设，四边形面积，则函数的图象大致是（ b ）

3）设，三角形面积，则函数的图象大致是（ c ）

2. 平面外有两条直线和，如果和在平面内的射影分别是和，给出下列四个命题：

与相交与相交或重合； ④与平行与平行或重合；其中不正确的命题个数是（ d ）

a.1b.2c.3d.4

分析】借助正方体为思维载体，如图，直线和。

的多种位置，射影保持垂直不变。

3. 已知正方体abcd－，分别为棱上的点，设则下列结论正确的有写出所有正确结论）②③

与不相等时，直线与必为异面直线；

的最小值为；

三棱锥的体积与、无关；

直线ef与平面abcd所成角的最大值为；

分析：①与同在平面；

与平面交于一点，点为线段的中点，是在平面内运动的直线，因此若与相交，必交于点，由于与不相等时，在矩形中不会过点，所以与不相交，依据异面直线判定定理易判断与异面。，观察正方体易得的范围都是，所以，所以，所以。

三棱锥的体积与三棱锥的体积相同，由于的面积与无关，到平面的距离与无关，所以三棱锥的体积与、无关。

因为到底面距离总为正方体棱长，所以直线ef与平面abcd所成角的正切值的大小取决于ef在底面上的射影长，易得最小为，所以ef与平面abcd所成角最大值为。

考题14】．在平面直角坐标系中，为坐标原点。定义、两点之间的“直角距离”为。若点，则。

已知点，点m是直线上的动点，的最小值为。

分析】本题属于新定义类的创新题目，重点考查学生对定义的理解能力，考察学生综合运用知识和方法的能力。

对直角距离定义的理解有两个角度：数和形。

数：形：如图或。

首先易得：点**段的延长线上时，

点**段的延长线上时，

而当点**段上时，需要考虑斜率。

若时，若时，

若时，相关考题】

西城期末14.在平面直角坐标系中，定义为两点，之间的“折线距离”. 则。

坐标原点与直线上一点的“折线距离”的最小值是___

圆上一点与直线上一点的“折线距离”的最小值是___

答案：，分析：本题若不从图上分析，就太复杂了！依据海淀14题的对点与直线上点的折线距离的最小值分析，可知圆上任一点与直线上点的折线距离的最小值总为，设圆上点，则。

08石景山一模理8）对于平面直角坐标系内任意两点（，）定义它们之间的一种“距离给出下列三个命题：

若点c**段ab上，则‖ac‖+‖cb‖=‖ab‖；

在△abc中，若∠c=90°，则‖ac‖+‖cb‖=‖ab‖；

在△abc中，‖ac‖+‖cb‖>‖ab‖．

其中真命题的个数为（ b ）

a.0b.1c.2d.3

2010广东卷21）．设a(),b()是平面直角坐标系xoy上的两点，先定义由点a到点b的一种折线距离p(a,b)为。

当且仅当时等号成立，即三点共线时等号成立。

2）当点c(x, y) 同时满足①p+p= p，②p= p时，点是线段的中点。，即存在点满足条件。

徐文兵提供)在平面直角坐标系中，定义之间的“直角距离”为，若动点到坐标原点的“直角距离”等于1，则动点的轨迹围成的图形面积为；

设，满足到的“直角距离”等于到的“直角距离”的动点的轨迹是一条长度为2的线段；

设，则；其中真命题有填序号）

答案： ③分析：

轨迹为}，围成的是面积为2的正方形；

轨迹为直线：即；

若满足，即，的图形是一个六边形如图，由图可得必满足；

考题15】．（本小题满分12分）

设函数，.ⅰ）求在上的值域；

ⅱ）记的内角的对边长分别为，若求的值。

修改前】设函数，.

ⅰ）求在的值域；

ⅱ）记的内角的对边长分别为，若，求的值。

解：（ⅰ值域。

ⅱ）由得，因为，所以，所以。

所以，即。由余弦定理可得，所以。

注：已知两边及一角，求第三边，还可以用正弦定理求解，但是用余弦定理更方便。理论上，用余弦定理求解和用正弦定理在解的情况上是一样的。

比如：设已知，由余弦定理可得，整理得。

由可得。当时，三角形为直角三角形；

当且时，有两正实数解，即三角形有两解；

当且时，有一正实数解，即三角形有一解；

这与正弦定理讨论的结果等同。

考题16】.（本小题满分13分）

某班将要举行篮球投篮比赛，比赛规则是：每位选手可以选择在a区投篮2次或选择在b区投篮3次。在a区每进一球得2分，不进球得0分；在b区每进一球得3分，不进球得0分，得分高的选手胜出。

已知参赛选手甲在a区和b区每次投篮进球的概率分别为和

ⅰ）如果选手甲以在a、b区投篮得分的期望高者为选择投篮区的标准，问选手甲应该选择哪个区投篮？

ⅱ）求选手甲在a区投篮得分高于在b区投篮得分的概率。

分析：本题考查二项分布，事件间的关系，随机变量的期望等知识。

对于文字较多的概率题，讲评时①应指导学生运用图表等方式表达体重数据信息，同样在分析事件时，也要注意方式方法。例如：

所以甲在a区投篮得分高于在b区投篮得分的情况：（2，0）、（4，0）、（4，3）

注意概率题解答的规范书写与表达，概率问题需首先分析清楚各事件间的关系，.弄清概率公式的适用条件。

概率对人们在生活中做出正确选择的一个非常有用的工具。本题中的两问体现出我们在作出选择时的不同判断标准。2023年安徽理21题是体现概率应用价值非常突出的题目，我非常欣赏这个题目，只是确实难度大了一些。

10安徽理21】品酒师需定期接受酒味鉴别功能测试，一种通常采用的测试方法如下：拿出瓶外观相同但品质不同的酒让其品尝，要求其按品质优劣为它们排序；经过一段时间，等其记忆淡忘之后，再让其品尝这瓶酒，并重新按品质优劣为它们排序，这称为一轮测试。根据一轮测试中的两次排序的偏离程度的高低为其评为。

现设，分别以表示第一次排序时被排为1,2,3,4的四种酒在第二次排序时的序号，并令。

则是对两次排序的偏离程度的一种描述。

(ⅰ)写出的可能值集合；

ⅱ)假设等可能地为1,2,3,4的各种排列，求的分布列；

ⅲ)某品酒师在相继进行的三轮测试中，都有，i)试按(ⅱ)中的结果，计算出现这种现象的概率（假定各轮测试相互独立）；

ii)你认为该品酒师的酒味鉴别功能如何？说明理由。

分析：按规律列出所有结果：

解：（i）x的可能值集合为，在1，2，3，4中奇数与偶数各有两个，所以a2，a4中的奇数个数等于a1，a3中的偶数个数，因此|1－a1|+|3－a3|与|2－a2|+|4－a4|的奇偶性相同，从而。

x=(|1－a1|+|3－a3|)+2－a2|+|4－a4|)必为偶数，x的值非负，且易知其值不大于8，容易举出x的值等于0，2，4，6，8各值的排列的例子。

（ii）可用列表或树状图列出1，2，3，4的一共24种排列，计算每种排列下的x值，在等可能的假定下得到。

iii）（i）首先p(x≤2)=p(x=0)+p(x=2)=，将三轮测试都有x≤2的概率记作p。

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