第九讲极限与探索性问题。
考点透视】1．理解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题．
2．了解数列极限和函数极限的概念．
3．掌握极限的四则运算法则；会求某些数列与函数的极限．
4．了解函数连续的意义，了解闭区间上连续函数有最大值和最小值的性质．
例题解析】考点1 数列的极限。
1.数列极限的定义：一般地，如果当项数n无限增大时，无穷数列的项an无限地趋近于某个常数a（即|an－a|无限地接近于0），那么就说数列以a为极限。
注意：a不一定是｛an｝中的项。
2.几个常用的极限：① c=c（c为常数）;②0;③qn=0（|q|＜1）.
3.数列极限的四则运算法则：设数列｛an｝、｛bn｝，当an=a, bn=b时， （an±bn）=a±b;
例1.数列{}满足：,且对于任意的正整数m,n都有，则。
a. b. c. d.2
考查目的]本题考查无穷递缩等比数列求和公式和公式的应用。
解答过程]由和得。
故选a.例2．设常数，展开式中的系数为，则___
考查目的]本题考查利用二项式定理求出关键数， 再求极限的能力。
解答过程]，由，所以，所以为1.
例3.把展开成关于的多项式，其各项系数和为，则等于。
a． b． c． d．2
考查目的]本题考查无穷递缩等比数列求和公式和公式的应用。
解答过程]
故选d例4.设等差数列的公差是2，前项的和为，则 ．
思路启迪：由等差数列的公差是2，先求出前项的和为和通项．
解答过程]
故填3小结：
1.运用数列极限的运算法则求一些数列的极限时必须注意以下几点：
1）各数列的极限必须存在；
2）四则运算只限于有限个数列极限的运算。
2.熟练掌握如下几个常用极限：
1）c=c（c为常数）;
2）（）p=0（p＞0）;
3）=（k∈n *,a、b、c、d∈r且c≠0）;
4）qn=0（|q|＜1）.
例5.设正数a, b满足则（ ）
（a）0 （b） （c） （d）1
解： 故选b
小结：重视在日常学习过程中运用化归思想。
考点2 函数的极限。
1.函数极限的概念：
1）如果f（x）=a且f（x）=a,那么就说当x趋向于无穷大时，函数f（x）的极限是a,记作f（x）=a,也可记作当x→∞时，f（x）→a.
2）一般地，当自变量x无限趋近于常数x0（但x不等于x0）时，如果函数f（x）无限趋近于一个常数a,就说当x趋近于x0时，函数f（x）的极限是a,记作f（x）=a,也可记作当x→x0时，f（x）→a.
3）一般地，如果当x从点x=x0左侧（即x＜x0＝无限趋近于x0时，函数f（x）无限趋近于常数a,就说a是函数f（x）在点x0处的左极限，记作f （x）=a.如果从点x=x0右侧（即x＞x0）无限趋近于x0时，函数f （x）无限趋近于常数a,就说a是函数
f （x）在点x0处的右极限，记作f（x）=a.
2.极限的四则运算法则：
如果f （x）=a, g（x）=b,那么。
f（x）±g（x）]=a±b; [f（x）·g（x）]=a·b; =b≠0）.
例6． =a．等于0b．等于lc．等于3d．不存在。
考查目的]本题主要考查利用同解变形求函数极限的能力。
解答过程]故选b
例7． (（a）0 （b）1 （c） （d）
考查目的]本题主要考查利用分解因式同解变形求函数极限的能力。
解答过程]
故选d例8.若f （x）=在点x=0处连续，则f （0
思路启迪：利用逆向思维球解。
解答过程：∵f（x）在点x=0处连续，∴f （0）=f （x）,f （x）=
答案： 例9.设函数f （x）=ax2+bx+c是一个偶函数，且f （x）=0, f （x）=－3,求这一函数最大值。
思路启迪：由函数f （x）=ax2+bx+c是一个偶函数，利用f （－x）=f （x）构造方程，求出b的值。
解答过程：∵f （x）=ax2+bx+c是一偶函数，f （－x）=f （x）,即ax2+bx+c=ax2－bx+c.
b=0.∴f （x）=ax2+c.
又f （x）= ax2+c=a+c=0, f（x）=ax2+c=4a+c=－3,a=－1,c=1.∴f （x）=－x2+1.∴f （x）max=f（0）=1.
f （x）的最大值为1.
例10.设f（x）是x的三次多项式，已知===1.
求的值（a为非零常数）.
解答过程：由于=1,可知f（2a）=0
同理f（4a）=0. ②
由①②，可知f（x）必含有（x－2a）与（x－4a）的因式，由于f（x）是x的三次多项式，故可设f（x）=a（x－2a）（x－4a）（x－c）.
这里a、c均为待定的常数。
由=1,即。
a（x－4a）（x－c）=1,得a（2a－4a）（2a－c）=1,即4a2a－2aca=－1
同理，由于=1,得a（4a－2a）（4a－c）=1,即8a2a－2aca=1
由③④得c=3a,a=,因而f（x）=（x－2a）（x－4a）（x－3a）.
=（x－2a）（x－4a）
·a·（－a）=－
例11 a为常数，若（－ax）=0,则a的值是。
思路启迪：先对括号内的的式子变形。
解答过程：∵（ax）= 0,1－a2=0.∴a=±1.但a=－1时，分母→0,a=1.
考点3.函数的连续性及极限的应用。
1.函数的连续性。
一般地，函数f（x）在点x=x0处连续必须满足下面三个条件：
1）函数f（x）在点x=x0处有定义；（2）f（x）存在；（3）f（x）=f（x0）.如果函数y=f（x）在点x=x0处及其附近有定义，而且f（x）=f（x0）,就说函数f（x）在点x0处连续。
2.如果f（x）是闭区间［a,b］上的连续函数，那么f（x）在闭区间［a,b］上有最大值和最小值。
3.若f（x）、g（x）都在点x0处连续，则f（x）±g（x）,f（x）·g（x）,（g（x）≠0）也在点x0处连续。若u（x）在点x0处连续，且f（u）在u0=u（x0）处连续，则复合函数f［u（x）］在点x0处也连续。
例在x=x0处连续是f（x）在x=x0处有定义的___条件。
a.充分不必要b.必要不充分。
c.充要d.既不充分又不必要。
思路启迪：说明问题即可。
解答过程：f（x）在x=x0处有定义不一定连续。
答案：a例的不连续点为( )
和x=2kπ（k=0,±1,±2,…）和x=（k=0,±1,±2,…）
思路启迪：由条件出发列方程解之。
解答过程：由cos=0,得=kπ+（k∈z）,∴x=.
又x=0也不是连续点，故选d
答案：d例14. 设f（x）=当a为___时，函数f（x）是连续的。
解答过程： f（x）=（a+x）=a, f（x）=ex=1,而f（0）=a,故当a=1时， f（x）=f（0）,即说明函数f（x）在x=0处连续，而在x≠0时，f（x）显然连续，于是我们可判断当a=1时， f（x）在（－∞内是连续的。
小结：分段函数讨论连续性，一定要讨论在“分界点”的左、右极限，进而断定连续性。
例15.已知函数f（x）=函数f（x）在哪点连续( )
a.处处连续
思路启迪：考虑结果的启发性。
解答过程： f（x）= f（x）=f（）.
答案：d例16.抛物线y=b（）2、x轴及直线ab:
x=a围成了如图（1）的阴影部分，ab与x轴交于点a,把线段oa分成n等份，作以为底的内接矩形如图（2）,阴影部分的面积为s等于这些内接矩形面积之和当n→∞时的极限值，求s的值。
思路启迪：先列出式子。
解答过程：s=［b·（）2+b·（）2+b·（）2+…+b·（）2］2·
·ab·ab=ab.
例17.如图，在边长为l的等边△abc中，圆o1为△abc的内切圆，圆o2与圆o1外切，且与ab、bc相切，…,圆on+1与圆on外切，且与ab、bc相切，如此无限继续下去，记圆on的面积为an（n∈n*）.
1）证明是等比数列；
2）求（a1+a2+…+an）的值。
解答过程：（1）证明：记rn为圆on的半径，则r1=tan30°=l.
sin30°=,rn=rn－1（n≥2）.
于是a1=πr12=,=2=,成等比数列。
2）解：因为an=（）n－1·a1（n∈n*）,所以（a1+a2+…+an）==
例18. 一弹性小球自h0=5 m高处自由下落，当它与水平地面每碰撞一次后速度减少到碰前的，不计每次碰撞时间，则小球从开始下落到停止运动所经过的路程和时间分别是多少？
解答过程：设小球第一次落地时速度为v0,则有v0==10（m/s）,那么第二，第三，…,第n+1次落地速度分别为v1=v0,v2=（）2v0,…,vn=（）nv0,小球开始下落到第一次与地相碰经过的路程为h0=5 m,小球第一次与地相碰到第二次与地相碰经过的路程是l1=2×=10×（.
初中阅读理解题型与解题技巧
7.拟选题目题。这类题是对文章的高度概括。一些文章的标题往往隐含在文章的主题句中。做这类题一要切题即能够概括出全文的主旨 二要简洁即文字要简单明了。二。阅读理解题的解题方法和技巧。1.先对文章泛读一遍，将文章中的问题细读一遍，然后带着问题去精读文章。阅读时要特别注意开头段 观点 结尾段 结论 及各段...
英语阅读方法与解题技巧
阅读理解题在各类语言测试中都占有很大的比重。一方面量大，占去整个试卷文字量的半壁江山 另一方面单词有相当的难度，个别单词是一般词典所查不到的 再者，分值高，一般在30 左右。可见，阅读理解能力的高低决定着英语考试的成败。选材特点 题材多样化，随着信息时代的到来，阅读内容更趋于信息化 时代化，突破了单...
英语阅读方法与解题技巧
阅读方法 阅读步骤。一如果第一段较短，可读完再看第一道题目，看能否做，如不能做，即问题在第一段中未提及，则接着往下读，读到能做为止。如果第一段较长，则可读一半或一个层次后，找到中心句，看第一道题，看能做否，不能，接着读。二以后几段，先看题后看文章，读一段做一题。如果题目涉及多段，则看完所有相关段落后...