高二数学（学年测试）试卷（理）
附：下面的临界值表供参考：
一、选择题。
1．已知i为虚数单位，，则复数z对应的点位于。
a．第一象限 b．第二象限 c．第三象限 d．第四象限。
2. 已知命题，其中正确的是。
ab) cd)
3．设是的平均数，是的平均数，是。
的平均数，则下列各式中正确的是。
a. b. c. d.
4. 某算法的程序框如图所示，若输出结果为，则输入的实数。
的值是。ab． c． d．
5. 从高一（9）班54名学生中选出5名学生参加学生代表大会，若采用下面的方法选取：先用简单随机抽样从54人中剔除4人，剩下的50人再按系统抽样的方法抽取5人，则这54人中，每人入选的概率（ ）
a．都相等，且等于b．都相等，且等于。
c．均不相等d．不全相等。
6. 若直线与双曲线的右支交于不同的两点，那么的取值范围是（ ）
a）（）b）（）c）（）d）（）
7.已知点f1、f2分别是椭圆的左、右焦点，过f1且垂直于x轴的直线与椭圆交于a、b两点，若△abf2为正三角形，则该椭圆的离心率为 （
abcd）8．若有极大值和极小值，则的取值范围是（ ）
ab．或 c．或d．
9．如下图是函数的大致图象，则。
a． bc． d．
10.设是椭圆的两个焦点，点m在椭圆上，若△是直角三角形，则△的面积等于。
a．48/5b.36/5c.16d.48/5或16
11.若点p是曲线y=上任意一点，则点p到直线y=x-2的最小距离是。
ab.1cd.
12．函数f(x)是定义在r上的奇函数，且f(1)=0，当x>0时，有<0恒成立，则不等式f(x)>0的解集为。
a．(-1，0) (1b．(-1，0) (0，1)
c．(-1) (1d．(-1) (0，1)
二、填空题：
13. 已知由样本数据点集合求得的回归直线方程为，且。若去掉两个数据点和后重新求得的。
回归直线的斜率估计值为，则此回归直线的方程为。
14.某正态曲线的密度函数是偶函数，而且该函数的最大值为，求总体位于区间[-4，-2]的概率 .
15．某研究小组为了研究中学生的身体发育情况，在某学校随机抽出20名15至16周岁的男生，将他们的身高和体重制成2×2的列联表，根据列联表的数据，可以有 %的把握认为该学校15至16周岁的男生的身高和体重之间有关系。
16.已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为f1、f2，点p在双曲线的右支上，且|pf1|＝4|pf2|，则双曲线离心率e的最大值为___
班级姓名___
一、选择题。
二、填空题：
三、解答题。
17．某地最近十年粮食需求量逐年上升，下表是部分统计数据：
1)利用所给数据求年需求量与年份之间的回归直线方程＝x＋；
2)利用(1)中所求出的直线方程**该地2023年的粮食需求量．
18．甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一球，.约定甲先投且先投中者获胜，一直到有人获胜或每人都已投球3次时投篮结束。设甲每次投篮投中的概率为，乙每次投篮投中的概率为，且各次投篮互不影响。
ⅰ) 求甲获胜的概率；
ⅱ) 求投篮结束时甲的投篮次数的分布列与期望。
19.某班同学利用春节进行社会实践，对本地岁的人群随机抽取人进行了一次生活习惯是否符合低碳观念的调查，将生活习惯符合低碳观念。
的称为“低碳族”，否则称为“非低碳族”，得到如下统计表和各年龄段人数频率分布直方图。
a. 人数统计表二）各年龄段人数频率分布直方图：
ⅰ）在答题卡给定的坐标系中补全频率分布直方图，并求出、、的值；
ⅱ）从岁年龄段的“低碳族”中采用分层抽样法抽取人参加户外低碳体验活。
动。若将这个人通过抽签分成甲、乙两组，每组的人数相同，求岁中被。
抽取的人恰好又分在同一组的概率；
20．如图，在四棱锥p－abcd中，pd⊥底面abcd，底面abcd为正方形，pd＝dc，e、f分别是ab、pb的中点．
1)求证：ef⊥cd；
2)在平面pad内求一点g，使gf⊥平面pcb，并证明你的结论；
3)求db与平面def所成角余弦值的大小。
21．已知椭圆c：＋＝1(a>b>0)的离心率为，短轴一个端点到右焦点的距离为。
1)求椭圆c的方程；
2)设直线l与椭圆c交于a、b两点，坐标原点o到直线l的距离为，求△aob面积的最大值．
22． 已知函数．（ⅰ求在上的最小值；（ⅱ若存在（是常数，＝2．71828）使不等式成立，求实数的取值范围；
ⅲ） 证明对一切都有成立．
数学（理）答案。
1-12 acabbd dbaaad 13. ；14. 0.1359 15．97．5 16.
17．(1)由所给数据看出，年需求量与年份之间是近似直线上升的，下面求回归直线方程．为此对数据预处理如下：
对预处理后的数据，容易算得＝0，＝3.2.
＝6.5，＝－b＝3.由上述计算结果，知所求回归直线方程为。
257＝(x－2 006)＋＝6.5(x－2 006)＋3.2，即＝6.5(x－2 006)＋260.2
2)利用直线方程①，可**2023年的粮食需求量为。
6．5×(2012－2006)＋260.2＝6.5×6＋260.2＝299.2(万吨)．
18. 解：设分别表示甲、乙在第次投篮投中，则 ,
1)记“甲获胜”为事件c,由互斥事件有一个发生的概率与相互独立事件同时发生的概率计算公式知，
2)的所有可能为： 由独立性知：
综上知，有分布列。
从而，(次)
19.解：（ⅰ第二组的频率为，所以第二组高为．
频率直方图如下：
第一组的人数为，频率为，所以；
由题可知，第二组的频率为。
所以第二组的人数为，所以；
第四组的频率为。
所以第四组的人数为，所以。 （因为岁年龄段的“低碳族”与岁年龄段的“低碳族”的比为，所以采用分层抽样法抽取6人，岁中抽取4人，岁中抽取2人．
设年龄在中被抽取的4个人分别为：，，
年龄在岁中被抽取的2个人分别为：，。
20. [解析] 以da、dc、dp所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系。
如图)，设ad＝a，则d(0,0,0)、a(a,0,0)、b(a，a,0)、c(0，a,0)、
e(a，，0)、f(，，p(0,0，a)．
1)·＝0，)·0，a,0)＝0，∴ef⊥dc.
2)设g(x,0，z)，则g∈平面pad.
(x－，－z－)，x－，－z－)·a,0,0)＝a(x－)＝0，∴x＝；
＝(x－，－z－)·0，－a，a)＝＋a(z－)＝0，∴z＝0.
g点坐标为(，0,0)，即g点为ad的中点．
3)设平面def的法向量为n＝(x，y，z)．由得，即。
取x＝1，则y＝－2，z＝1，∴n＝(1，－2,1)．
cos<，n>＝＝db与平面def所成角余弦。
21. 解：(1)设椭圆的半焦距为c，依题意∴b＝1.
∴所求椭圆方程为＋y2＝1.(2)设a(x1，y1)，b(x2，y2)，①当ab⊥x轴时，|ab|＝，当ab与x轴不垂直时，设直线ab的方程为y＝kx＋m.由已知＝，得m2＝(k2＋1)，把y＝kx＋m代入椭圆方程，整理得。
3k2＋1)x2＋6kmx＋3m2－3＝0∴x1＋x2＝，x1x2＝.
|ab|2＝(1＋k2)(x2－x1)2＝(1＋k2)
3＋＝3＋(k≠0)≤3＋＝4. 当且仅当9k2＝，即k＝±时等号成立|ab|＝2.当k＝0时，|ab|＝，综上所述，|ab|max＝2.
∴当|ab|最大时，△aob面积取最大值，s＝×|ab|max×＝.
22． 解：（ⅰ
ⅱ）由题意知。
而，故。ⅲ） 等价证明由（ⅰ）知。
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