1 1 3 1 单调性与最大 小 值 第一课时

发布 2020-09-15 04:54:28 阅读 6970

§1.3函数的基本性质。

1.3.1 单调性与最大(小)值(第一课时)

教学时间:2024年9月9日星期四。

教学班级:高一班。

教学目标:1.使学生理解增函数、减函数的概念;

2.使学生掌握判断某些函数增减性的方法;

3.培养学生利用数学概念进行判断推理的能力;

4.培养学生数形结合、辩证思维的能力;

5.养成细心观察、认真分析、严谨论证的良好思维习惯。

教学重点:函数单调性的概念。

教学难点:函数单调性的判断和证明。

教学方法:讲授法。

教学过程:i)复习回顾。

1.函数有哪几个要素?

2.函数的定义域怎样确定?怎样表示?

3.函数的表示方法常见的有哪几种?各有什么优点?

4.区间的表示方法。

前面我们学习了函数的概念、表示方法以及区间的概念,现在我们来研究一下函数的性质(导入课题,板书课题)。

ii)讲授新课。

1.引例:观察y=x2的图象,回答下列问题(投影1)

问题1:函数y=x2的图象在y轴右侧的部分是上升的,说明什么?

随着x的增加,y值在增加。

问题2:怎样用数学语言表示呢?

设x1、x2∈[0,+∞得y1=f(x1), y2=f(x2).当x1(学生不一定一下子答得比较完整,教师应抓住时机予以启发)。

结论:这时,说y1= x2在[0,+∞上是增函数。(同理分析y轴左侧部分)由此可有:

2.定义:(投影2)

一般地,设函数f(x)的定义域为i:

如果对于属于i内某个区间上的任意两个自变量的值x1、x2,当x1x2时都有f(x1)< f(x2).那么就说f(x)在这个区间上是增函数(increasing function)。

如果对于属于i内某个区间上的任意两个自变量的值x1、x2,当x1f(x2).那么就是f(x)在这个区间上是减函数(decreasing function)。

如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数,那么就说函说y=f(x)在这一区间具有(严格的)单调性,这一区间叫做y=f(x)的单调区间,在单调区间上增函数的图象是上升的,减函数的图象是下降的。

注意:(1)函数的单调性也叫函数的增减性;

2)注意区间上所取两点x1,x2的任意性;

3)函数的单调性是对某个区间而言的,它是一个局部概念。

iii)例题分析。

例1.下图是定义在闭区间上的函数y=f(x)的图象,根据图象说出函数的单调区间,以及在每一个区间上的单调性(课本p34例1)。

问题3:y=f(x)在区间,上是减函数;在区间,上是增函数,那么在两个区间的公共端点处,如:x=-2,x=-1,x=3处是增函数还是减函数?

分析:函数的单调性是对某个区间而言的,对于单独的一点,由于它的函数值是唯一确定的常数,因此没有增减变化,所以不存在单调性问题;另一方面,中学阶段研究的是连续函数或分段连续函数,对于闭区间的连续函数而言,只要在开区间单调,则它在闭区间也单调。因此在考虑它的单调区间时,包括不包括端点都可以(要注意端点是否在定义域范围内)。

说明:要了解函数在某一区间上是否具有单调性,从图上进行观察是一种常用而又粗略的方法。严格地说,它需要根据单调函数的定义进行证明。

例2.证明函数f(x)=3x+2在r上是增函数。

证明:设任意x1、x2∈r,且x1则f(x1)- f(x2)=(3x1+2)-(3x2+2)=3(x1-x2).

由x1∴f(x)=3x+2 在r上是增函数。

分析:判定函数在某个区间上的单调性的方法步骤:

a.设x1、x2∈给定区间,且x1b.计算f(x1)- f(x2)至最简;

c.判断上述差的符号;

d.下结论。

例3.教材第34页例2。

iv)课堂练习课本p35 “**题”和p38练习1—3

注意:通过观察图象,对函数是否具有某种性质作出一种猜想,然后通过推理的办法,证明这种猜想的正确性,是发现和解决问题的一种常用数学方法。

v)课时小结。

本节课我们学习了函数单调性的知识,同学们要切记:单调性是对某个区间而言的,同时在理解定义的基础上,要掌握证明函数单调性的方法步骤,正确进行判断和证明。

vi)课后作业。

1、书面作业:课本p45习题1.3a组题题。

2、预习作业:

预习内:容函数的最大值与最小值(p35—p38);

预习提纲:a.函数最大值与最小值的含义是什么?

b. 函数最大值与最小值和函数的单调性有何关系?

单调性与最大 小 值 第一课时

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