线性定常系统linear time invariant 非线性系统nonlinear system 线性化linearization 单输入单输出single input and single output 多输入多输出 multi-input and multi-output 能控性controllability 能观性observability平衡状态equilibrium state 稳定stability 渐进稳定asymptotic stable 大范围渐进稳定asymptotic stable in the large 标量函数scalar functions 正定的positive definite 半正定的nonnegative definite 负定的negative definite李雅夫lyapunov
状态变量：能够完全表征系统运动状态的最小一组变量。状态方程：
描述系统状态与输入之间关系的、一阶微分方程（组）。状态空间表达式：状态方程和输出方程组合起来，构成对一个系统动态行为的完整描述。
线性定常系统： a(t), b(t), c(t), d(t)的各个元素都是与时间t无关的常数。离散系统：
系统的各个变量只在离散时刻取值，状态空间描述只反映离散时刻的变量组之间的因果关系和转换关系。
若存在一分段连续控制向量u(t)，能在有限时间区间[t0,t1]内，将系统从初始状态x(t0)转移到任意终端状态x(t1)，那么就称此状态是能控的。若系统任意t0时刻的所有状态x(t0)都是能控的，就称此系统是状态完全能控的，简称能控。
1 定理4.2.1 系统(4.2.1)状态完全能控的充分必要条件是。
能控性矩阵。
的秩为n。②定理4.2.
2 如果线性定常系统的系统矩阵a具有互不相同的特征值，则系统能控的充要条件是，系统经线性非奇异变换后， a阵变换成对角标准形，它的状态方程中不包含元素全为0的行。
定义4.2.2 如果在一个有限的区间[t0,t1]内，存在适当的控制向量u(t),使系统能从任意的初始输出y(t0)转移到任意指定最终输出y(t1)，则称系统是输出完全能控的。
系统输出完全能控的充分必要条件是矩阵。
的秩为q对于线性定常系统，在任意给定的输入u(t)下，能够根据输出量y(t)在有限时间区间[t0,t1]内的测量值，唯一地确定系统在t0时刻的初始状态x(t0 )，就称系统在t0时刻是能观测的。若在任意初始时刻系统都能观测，则称系统是状态完全能观测的，简称能观测的。
1 定理4.3.2线性定常连续系统状态完全能观测的充分必要条件是能观性矩阵的秩为n。
定理4.3.3 若线性定常系统的状态矩阵有互不相同的特征值，则系统状态能观测的充要条件是，经线性等价变换把矩阵化成对角标准形后，系统的状态空间表达式中，矩阵c不包含元素全为零的列。
能控标准形是指在一组基底下，将能控性矩阵中的a 和 b 表现为能控的标准形式。
能观标准形是指在一组基底下，将能观性矩阵中的a 和 c 表现为能观的标准形式。
对于给定的传递函数矩阵的最小实现，并不是唯一的，但它们的维数应该是相同的。
定理 4.9.1 传递函数矩阵g（s）的最小实现abc和d的充要条件是系统状态完全能控且完全能观测。
第一方法：定理 5.2.
1 系数矩阵a的所有特征值都具有负实部，则原非线性系统x*=f（x）的平衡状态xe是渐进稳定的，且系统的稳定性与高阶导数项无关；如果在a的特征值中，至少有一个实部为正的特征值，则原非线性系统的平衡状态xe是不稳定的；如果在a的特征值中，虽然没有实部为正的，但有为0的，则原非线性系统的平衡状态xe的稳定性由高阶倒数项g（y）来决定。
第二方法定理5.2.2a 假设系统的状态方程为。
如果存在一个具有连续偏导数的标量函数 ，并且满足条件：
1） 是正定的 2） 是负定的。那么系统在原点处的平衡状态是一致渐近稳定的。如果随着 ，有。
则在原点处的状态是大范围渐近稳定的。
定理5.2.3 假定系统的状态方程式如式(5.
2.4)所示，如果存在一个标量函数，它具有连续的一阶偏导数，并且满足以下两个条件：1） 是正定的，2） 是半负定的。
则系统在原点处的平衡状态是一致稳定的。
的反馈控制律为线性状态反馈。 定理 6.1.1 对于任何实常量矩阵k，系统完全能控的充要条件是系统完全能控。
引入状态反馈控制律（k，i）虽然不影响系统的能控性，但有可能影响系统的能观测性。
极点配置定理定理 6.2.1 给定系统。
通过状态反馈u=v-kx任。
意配置极点的充要条件。
是系统是完全能控的。
算法2 ①将u=—kx带入系统状态方程，并求出得相应闭环系统的特征多项式
计算理想特征多项式③列方程组αi（k）=αi*，并求解。其解k=[k1,k2…kn]即为所求。适用系统维数比较低，控制矩阵b中只有一个非0元素的情况。
状态反馈不改变系统的维数，但是闭环传递函数的阶次可能会降低。
对于单输入单输出系统，状态反馈不会移动系统传递函数的零点。
系统综合往往需要将不稳定的极点，移到 s 平面的左半部，这一过程称为系统镇定。只有a22的全部特征值都具有负实部时，系统才能稳定。
每一个输入控制着多个输出，而每一个输出被多个输入所控制我们称这种交互作用的现象为耦合。
如能找出一些控制律。
每个输出受且只受一个输入的控制，这必将大大的简化控制。实现这样的控制称为解耦控制，或者简称为解耦。
三个基本假定：p=q u=lv—kx 输入变换矩阵l为非奇异的。det l≠0
定理 6.3.1 系统在状态反馈u=lv—kx下实现解耦控制的充要条件是为e非奇异。其中。
算法：1) 求出系统的。
2) 构成矩阵e，若e非奇异，则可实现状态反馈解耦；否则，不能状态反馈解耦。3) 求取矩阵k和l，则u=lv—kx
就是所需的状态反馈控制律。
闭环全维状态观测器动态方程可写为。
定理 6.4.2 若n维线性定常系统是状态完能观，则能借助n维状态观测器（如上）来估计它的状态，其估计误差。满足。
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