黄埭中学2013届第一学期高三数学期中测试模拟卷（1）
班级姓名成绩
一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分。请把答案写在试卷的指定位置上。
1. 已知集合，那么。
2. 命题；命题是的条件。 （填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分又不必要”）
3．函数的定义域为。
4．平面向量与的夹角为60°，，则 ．
5．在等比数列中，，，则。
6.已知是第二象限角，且则。
7. 已知函数是定义在实数集r上的奇函数，且在区间上是单调递增，若，则的取值范围为。
8. 若关于的不等式在上有解，则实数的取值范围是。
9. 在平面直角坐标系中，，将向量按逆时针旋转后，得向量，则点的坐标是。
10.外接圆的半径为，圆心为，且，则 ．
11. 已知函数图象在点处的切线与函数图象在点处的切线平行，则直线与两坐标轴所围成的三角形的面积为 .
12．设、为实数，若，则的最大值是。
13．数列的通项公式为若成等差数列，则的取值集合是___
14．设函数，则下列命题中正确命题的序号有请将你认为正确命题的序号都填上）
当时，函数在r上是单调增函数；②当时，函数在r上有最小值；③函数的图象关于点对称； ④方程可能有三个实数根。
二、解答题：本大题共6小题，计90分。解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在试卷的指定区域内。
15. 在锐角中，角、、所对的边长分别为，且。
1)求角的大小；
2)若面积为， ,求的值。
16. 已知向量，，，点为直线上一动点。
1）求；2）当取最小值时，求的坐标。
17. 已知函数的最小正周期为，且。
1）求的值；
2）若，求的值。
18．在某次水下考古活动中，需要潜水员潜入水深为30米的水底进行作业。其用氧量包含3个方面：①下潜时，平均速度为(米/单位时间),单位时间内用氧量为(为正常数);②在水底作业需5个单位时间，每个单位时间用氧量为0.
4;③返回水面时，平均速度为(米/单位时间), 单位时间用氧量为0.2.记该潜水员在此次考古活动中，总用氧量为。
1）将表示为的函数；
2）设0<≤5,试确定下潜速度，使总的用氧量最少。
19. 已知函数的两条切线pm、pn，切点分别为m、n.
1）当时，求函数的单调递增区间；
2）设mn=，试求函数的表达式；
3）在（2）的条件下，若对任意的正整数，在区间内，总存在m＋1个数使得不等式成立，求m的最大值。
20. 已知数列的首项，是数列的前项和，且满足：，．
1）若数列是等差数列，求的值；
2）确定的取值集合，使时，数列是递增数列．
数学ⅱ（附加部分）
21．【选做题】在a、b、c、d四小题中只能选做两题，每小题l0分，共计20分．请在试卷指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
a.几何证明选讲。
如图，△abc的外接圆的切线ae与bc的延长线相交于点e,bac的平分线与bc交于点d.
求证：ed2= eb·ec.
b．矩阵与变换。
已知矩阵，其中，若点在矩阵的变换下得到点．
1）求实数的值；
2）求矩阵的特征值及其对应的特征向量．
c．（极坐标、参数方程）
已知曲线的极坐标方程是，直线的参数方程是（为参数）．
1）将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程；
2）设直线与轴的交点是，是曲线上一动点，求的最大值．
d．（不等式选讲）
设正实数，满足，求证： ．
必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在试卷指定区域内作答．
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
22.设在个同类型的零件中有2个次品，现抽取次进行检验，每次抽一个，并且取出不再放回，若以变量x表示取出的次品个数．
1)求x的分布列；
2)求x的数学期望及方差．
23.已知正项数列中，对于一切的均有成立。
1）证明：数列中的任意一项都小于1；
2）**与的大小，并证明你的结论。
吴中区2013届第一学期高三数学期中测试模拟卷（1）
参考解答。1. 2. 充分不必要 3. 4. 5.
15. 解(1)，由正弦定理的，因为。
2)由，得。
代入得，得。
由题设，得联立，解得或。
16. 解：（1）由已知，，∴
2）设，则．点在直线上，∴∥即，当，时取最小值．即，．
19. 解：（1）当
则函数有单调递增区间为
（2）设m、n两点的横坐标分别为、，同理，由切线pn也过点（1，0），得（2
由（1）、（2），可得的两根，把（*）式代入，得。
因此，函数。
（3）易知上为增函数，由于m为正整数。
又当。因此，m的最大值为6
20. 解：（1）在s＝3n2an＋s中分别令n＝2，n＝3，及a1＝a得。
a＋a2)2＝12a2＋a2，(a＋a2＋a3)2＝27a3＋(a＋a2)2，因为an≠0，所以a2＝12－2a，a3＝3＋2a
因为数列是等差数列，所以a1＋a3＝2a2，即2(12－2a)＝a＋3＋2a，解得a＝3．
经检验a＝3时，an＝3n，sn＝，sn－1＝满足s＝3n2an＋s．
2）由s＝3n2an＋s，得s－s＝3n2an，即(sn＋sn－1)(sn－sn－1)＝3n2an，即(sn＋sn－1)an＝3n2an，因为an≠0，所以sn＋sn－1＝3n2，(n≥2
所以sn＋1＋sn＝3(n＋1)2，②
－①，得an＋1＋an＝6n＋3，(n≥2
所以an＋2＋an＋1＝6n＋9，④
－③，得an＋2－an＝6，(n≥2)
即数列a2，a4，a6，…，及数列a3，a5，a7，…都是公差为6的等差数列，
因为a2＝12－2a，a3＝3＋2a．
所以an要使数列是递增数列，须有。
a1＜a2，且当n为大于或等于3的奇数时，an＜an＋1，且当n为偶数时，an＜an＋1，即a＜12－2a，3n＋2a－6＜3(n＋1)－2a＋6(n为大于或等于3的奇数)，3n－2a＋6＜3(n＋1)＋2a－6(n为偶数)，解得＜a＜．所以m＝(，当am时，数列是递增数列。
附加部分参考解答。
a.几何证明选讲。
证明： 因为ea是圆的切线，ac为过切点a的弦，所以。
cae = cba.
又因为ad是bac的平分线，所以bad = cad
所以dae = dac + eac = bad + cba = ade
所以，△ead是等腰三角形，所以ea = ed6分。
又ea2 = ec·eb,所以ed2 = eb·ec10分。
b．矩阵与变换解：（1）由。
2）由（1）知，则矩阵的特征多项式为。
令，得矩阵的特征值为与4.
当时， 矩阵的属于特征值的一个特征向量为；
当时， 矩阵的属于特征值的一个特征向量为．
c．（极坐标、参数方程）
解：（1）曲线的极坐标方程可化为，又，所以曲线的直角坐标方程为．
（2）将直线的参数方程化为直角坐标方程，得，令，得，即点的坐标为(2，0)．
又曲线为圆，圆的圆心坐标为(1，0)，半径，则所以．
d．（不等式选讲）证明】．
23.解：（1）由得。
在数列中，∴，
故数列中的任意一项都小于1.
2）由（1）知，那么，由此猜想：（n≥2）.下面用数学归纳法证明：
当n=2时，显然成立；
当n=k时（k≥2,k∈n）时，假设猜想正确，即，那么，当n=k+1时，猜想也正确。
综上所述，对于一切，都有。
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