解答数学竞赛应用题常用的方法有：综合法、分析法、作图分析法和转化变换法等。
一、综合法。
综合法解题，是从已知条件出发，根据题中数量关系，先选择两个已知量，由这两个已知量而提出可以解答的问题；然后把所求出的问题作为新的已知条件，并与其他已知条件进行搭配，再提出可以解答的新问题。这样一步步推导、搭配、求解，直到最后问题的解决。
运用综合法在推导求解的过程中，通常是把已知条件组合成可以依次解答的几个简单应用题。
例1】（盈亏问题）幼儿园阿姨把一批饼干分给小朋友。若每人分6块，则多了15块；若每人分9块，则又少了21块。试问：一共是多少小朋友？多少块饼干？
分析】第一次分配时，每人分6块，还多15块；第二次分配时，每人分9块，就少21块。把两次分得的结果进行比较，由于每人多分了（9-6）=3块饼干，就是得饼干数相差（15+21）=36块。也就是说，每多分3块饼干，就对应一个人，现在多分了36块饼干，应该对应多少人？
所以，小朋友的人数为：（21+15）÷（9-6）=12（人）；饼干总数为：9×12-21=87（块）。
公式：（盈+亏）÷两次分配的差=分配的份数。
注意】同时都是盈（多余）或者都是亏（不足）时，应该是两个数相减。
解：小朋友人数：（21+15）÷（9-6）=12（人）
饼干总数：12×9-21=87（块）
答：一共有12位小朋友，87块饼干。
例2】（消去问题）甲、乙、丙三个同学到书店购买图书。已知甲、乙两人共带钱46元，乙、丙两人共带钱47元，甲、丙两人共带钱51元，三人买书用去的钱数相等，并且恰好用完了三人所带去的钱。问：
带钱最多的同学代替带钱最少的同学付了多少元钱？
分析】由前面三个已知条件，可以求出：①甲、乙、丙钱数和的2倍是：46+47+51=144（元），则甲、乙、丙三人一共的钱数为：
144÷2=72（元）；②甲、乙两人共16元，则丙的钱数为：72-46=26（元）；同样道理，甲的钱数为：72-47=25（元）；乙的钱数为：
72-51=21（元）；③由于三人用的钱数相等，并且恰好用完了三人所带去的钱，可知每人需要付款：72÷3=24（元）；所以，带钱最多的丙代替带钱最少的乙付款为：26-24=2（元）。
解：①甲、乙、丙钱数和的2倍是：46+47+51=144（元），则甲、乙、丙三人一共的钱数为：144÷2=72（元）；
甲、乙两人共16元，则丙的钱数为：72-46=26（元）；同样道理，甲的钱数为：72-47=25（元）；乙的钱数为：72-51=21（元）；
由于三人用的钱数相等，并且恰好用完了三人所带去的钱，可知每人需要付款：72÷3=24（元）；所以，带钱最多的丙代替带钱最少的乙付款为：26-24=2（元）。
答：带钱最多的丙同学代替带钱最少的乙同学付了2元钱。
上面的两道例题在解答的过程中是从已知到未知的推理过程，也就是综合法。
综合法解题的优点是叙述简明、清晰，但在较复杂的应用题中，不易找到解答方法，有时甚至很难把握解题方向。
二、分析法。
分析法解题，是从应用题的最后问题入手，根据数量关系，找出解答最后问题所需要的两个条件，然后把这两个条件中的一个（或两个）作为要解答的问题，再找出解答这个问题所需要的条件。这样步步逆推，直到把题目所给已知条件全部用完，而使问题最终获得解决。
在逆推的过程中，把一个复杂的问题分解成为可以依次解答的几个简单问题。
例3】（归一问题）印刷厂计划在25小时内印制笔记本10800本。由于改进了技术，每小时比原计划多印制108本。比原计划提前几小时完成任务？
分析】①求比原计划提前的时间：原计划25小时-实际用了多少小时；②求实际用了多少小时：共生产10800本÷实际每小时生产多少本；③求实际每小时生产多少本：
原计划每小时生产本数+实际每小时多生产108本；④求原计划每小时生产多少本：共生产10800本÷原计划25小时。.
所以，25-10800÷（10800÷25+108）=5（小时）。
解：10800÷25=432（本/小时）
432+108=540（本/小时）
10800÷540=20（小时）
25-20=5（小时）
答：比原计划提前5小时完成。
例4】（流水问题）两只船分别从上游的甲地和下游的乙地同时相向而行，水的速度为每分钟30米，两船在静水中的速度都是每分钟600米。有一天，两船又分别从甲、乙两地同时相向而行，但这次水流速度为平时的2倍，所以两船相遇的地点比平时相遇点相差60米。求甲、乙两地间的距离。
分析】要求甲、乙两地间的距离，必须知道“两船的速度和”与“两船相遇的时间”。顺水速度=船速+水速，逆水速度=船速-水速，相遇时间=路程和÷速度和。
两船的速度和，不论水速是否改变，它都是（600+600）米，且相遇的时间也不会因水速改变而改变，而只有相遇的地点有所改变。当下行的船速每分钟增加30米时，相遇的地点就偏离原相遇地点60米。由此可知，两船相遇所需的时间为（60÷30）分钟。
所以，甲、乙两地的距离为：（600+600）×（60÷30）=2400（米）。
解：60÷30=2（分钟）
600+600）×2=2400（米）
答：甲、乙两地间的距离是2400米。
例3、例4的解答过程是从问题出发，从未知到已知的逆推过程，也就是分析法。
分析法解题的优点是较易找到解题的途径和方法，但叙述较繁。对于有些复杂的应用题，由于结构复杂，已知条件多，中间的问题往往难以辨认。
例5】（鸡兔同笼问题）百货商场委托运输队包运1000只花瓶，议定每只花瓶运费0.4元。如果损坏一只，不但不给运费，而且要赔偿损失5.
1元。如果运输队获得运费383.5元，问损坏了花瓶多少只？
分析】假设在运输中没有损坏花瓶，则应该获得运费：0.4×1000=400（元）；但是，实际只得了运费383.
5元，少付了：400-383.5=16.
5（元）；这是因为若损坏一只花瓶，不但不给运费0.4元，反而还要赔偿5.1元。
实际上相当于扣除运费：5.1+0.
4=5.5（元）；所以，损失的花瓶数为：16.
5÷5.5=3（只）。综合列式：
（0.4×100-383.5）÷（4+5.
1）=3（只）。
解：0.4×1000=400（元）
400-383.5=16.5（元）
5.1+0.4=5.5（元）
16.5÷5.5=3（只）
答：一共损坏了花瓶3只。
例5是先运用了分析法，后又运用了综合法解答。
事实上，综合法和分析法并不是孤立的。在思考问题的过程中，它们是相互联系的。在应用题的解答中，两种方法常常是协同运用。
用分析法思考的时候，要随时注意题目本身的已知条件，考虑哪些已知数量应该搭配在一起。因此，分析中也有综合。
用综合法思考问题的时候，要随时注意题目中的最后问题，时刻考虑为了解决最后的问题需要哪些已知数量。因此，综合中也有分析。
三、作图分析法。
作图分析法就是把题目中的已知条件用线段等集合图形表示出来，用图形来揭示数量间的实质与内在联系，从而寻求解题线索。
例6】（平均数问题）五个数的平均数是138，把这些数从小到大排列起来，从小的开始前三个数的平均数是127；从大的开始，后三个数的平均数是148。中间的一个数是多少？
分析】把五个数按从小到大的顺序排列。因为左边三个数的平均数是127，则三个数的和为（127×3），右边三个数的平均数为148，则三个数的和为（148×3），而五个数的平均数是138，则五个数的和为（138×5）。
从图中可以看出，中间一个数既算作前面三个数，又算作后面三个数。所以，中间的一个数是：127×3+148×3-138×5=135。
解：127×3+148×3-138×5=135
答：中间的一个数是135。
例7】一条大鱼被分成了三部分：鱼头、鱼身和鱼尾。鱼尾重4千克。
鱼头的质量等于鱼尾的质量加上鱼身一半的质量；而鱼身的质量等于鱼头的质量加上鱼尾的质量。聪明的同学们，能不能算出这条鱼的质量？
分析】根据“鱼身的质量等于鱼头的质量加上鱼尾的质量”和“鱼尾重4千克”这两个条件，可推知：鱼身的质量比鱼头的质量多了4千克。同样地，根据“鱼头的质量等于鱼尾的质量加上鱼身一半的质量”和“鱼尾重4千克”这两个条件，可推知：
鱼头的质量等于鱼身质量的一半再加4千克。推出了这两个条件，我们可以作图：
解：鱼身的一半是：4+4=8（千克）
1）鱼身质量：（4+4）×2=16（千克）
2）鱼头质量：16-4=12（千克）
3）这条鱼的质量：12+16+4=32（千克）
答：这条鱼的质量是32千克。
例8】四（1）班的男生人数和女生人数同样多。选派18名男生和26名女生参加实践活动，剩下的男生是女生的3倍。四（1）班原来有男女生各多少名？
分析】根据“男生人数和女生人数同样多”这个条件，我们可以用相同长度的线段来表示这两个量。再根据“剩下的男生是女生的3倍”可知，剩下的男生要分成三份，而女生剩下的就是一份。数量关系如右图所示。
从图中可以看出，由于女生比男生多选了26－18＝8名学生参加实践活动，若女生少选8人，则剩下的男女生人数同样多。根据“剩下的男生是女生的3倍”，可知剩下的男生人数比女生人数多2倍（3-1=2）。这8名同学就相当于剩下女生人数的两倍，剩下女生是8÷2=4（名）。
共有女生26+4=30（名）。由于男女生人数相等，即都是30名。详解如下：
（26-18）÷（3-1）+26=30（名）。
解：（26-10）÷（3-1）+26=30（名）
答：四（1）班原有男女生都是30名。
例9】甲乙两船一共载客623人，若甲船增加34人，乙船减少57人。这时两船的乘客同样多，那么甲乙两船原来分别有多超乘客？
分析】根据题意作图。
甲乙两船原本共有623人，甲船加人，乙船减人后两船的人数才相等。这时候两船的总人数发生了变化，一共有：623+34-57=600（人）。
所以两船现在分别有：600÷2=300（人）。
解：623+34-57=600（人）
600÷2=300（人）
甲船原有人数为：300-34=266（人）；乙船原有人数为：300+57=357（人）。
答：甲船原有人数为266人，乙船原有人数为357人。
例10】甲向乙借款10元，乙向丙借款20元，丙向丁借款30元，丁向甲借款40元。某日四人会面，你能用最简便的手续了清他们之间的债务吗？
应用题练习 四年级 倍数问题应用题
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