目录。作业题目 1
1、求解结构的固有频率和固有阵型 2
1.1. 单元离散及节点编号 2
1.2. 形成整体刚度矩阵 3
1.3. 形成整体阻尼矩阵 4
1.4. 求固有频率及固有振型 4
1.5. 求节点等效荷载 5
2、求解**加速度作用下节点5的响应位移时程曲线 6
2.1 中心差分法 6
2.2 法（） 7
2.3 法（） 9
2.4 三种计算方法结果对比如下： 10
2.5 使用mdias软件计算 11
附录： 15
作业题目：平面梁（每节点3个自由度）
请采用自编程序和通用程序进行对比。
求：1、结构的固有频率和振型。
2、图示**加速度作用下节点响应位移时程曲线。（自己定）
2-1 中心差分法。
2-2 newmark法（）
2-3 wilson法（）
2-4 各种方法计算结果的比较。
解：1、 求解结构的固有频率和固有阵型。
在**力作用下，多自由度体系反应的控制微分方程为：
1.1. 单元离散及节点编号。
如下图所示，将题目中平面梁设置为5个节点，忽略轴向变形，节点的自由度如图所示。
忽略结构的轴向自由度，有限单元集合体的六个自由度如上图1-1所示，四个有限元单元体以及其局部自由度如上图1-1所示。
由于单元局部坐标系自由度按相同的直角坐标系定义，故无需进行坐标转换。
各单元的定位向量为：
1.2. 形成整体刚度矩阵，按照定位向量分别将各个单元的刚度元素放入整体刚度矩阵中，并进行累加得整体刚度矩阵如下所示：
由于1节点的竖向位移及其转角均为0，故可简化刚度矩阵为虚线区域所示，即：
同样的方法集成质量矩阵。最后计算结果如下：
其中。只考虑方向的振动，影响向量取。
1.3. 形成整体阻尼矩阵。
单元坐标系下一致阻尼矩阵：
由于阻尼矩阵是质量矩阵和刚度矩阵的线性组合，故系统的整体阻尼矩阵为：
1.4. 求固有频率及固有振型。
体系的固有频率由求得。固有振型由求得。由计算得到体系固有频率和振型为（编程见附录）：
1.5. 求节点等效荷载。
对于如下所示的梁单元：
对于各个自由度，其形函数可设为：
则节点等效荷载为：
其中。将各形函数代入可得：
用整体刚度矩阵集成方法集成整体一致节点力得：
其中。2、求解**加速度作用下节点5的响应位移时程曲线。
由于系统最小自振周期为，非常小，故取步长，经验算可以保证各算法的稳定性。分别用中心差分法、法（）及法（2）计算**加速度作用下节点5的响应位移时程曲线。编程见附录。
2.1 中心差分法。
步骤：1. 初始计算。
1.1 形成刚度矩阵，质量矩阵，阻尼矩阵；
1.2 给定初始条件和，利用计算。
1.3 选择合适的，并计算积分常数。
1.4 计算。
1.5 形成等效质量矩阵。
2. 对每一时间步计算。
2.1 计算时刻的等效荷载。
2.2 计算时刻的位移。
2.3计算时刻的速度和加速度。
3. 对下一个时间步进行重复计算。
用代替，对下一个时间步重复步骤2.1,2.2和2.3
用中心差分法计算得到节点3在y方向上的位移时程曲线图如图2-1所示：
图2-1 节点5在y方向的位移时程曲线图（中心差分法）
用中心差分法计算节点5在y方向上的位移最大值为。
2.2 法（）
步骤：1．初始值计算。
1.1形成刚度矩阵，质量矩阵，阻尼矩阵；
1.2给定初始条件和，。
1.3选择时间步长，参数=0.5、=0.25。并计算积分常数：
1.4形成等效刚度矩阵。
2. 对每一时间步。
2.1计算时刻的等效载荷。
2.2求解时刻的位移。
2.3计算时刻的加速度和速度。
3. 对下一个时间步进行重复计算。
用代替，对下一个时间步重复步骤2.1,2.2和2.3
用法计算得到节点3在y方向上的位移时程曲线图如图2-2所示：
图2-2 节点5在y方向的位移时程曲线图（法）
用法计算节点3在y方向上的位移最大值为。
2.3 法（2）
步骤：1．初始值计算。
1.1形成刚度矩阵，质量矩阵，阻尼矩阵；
1.2给定初始条件和，。
1.3选择时间步长，并计算积分常数。
1.4形成等效刚度矩阵。
2．对每一个时间步长。
2.1计算时刻的等效载荷。
2.2计算时刻的位移。
2.3计算时刻的位移，速度和加速度。
3. 对下一个时间步进行重复计算。
用代替，对下一个时间步重复步骤2.1,2.2和2.3
用法计算得到节点3在y方向上的位移时程曲线图如图2-3所示：
图2-3 节点5在y方向的位移时程曲线图（法）
用法计算节点3在y方向上的位移最大值为。
2.4 三种计算方法结果对比如下：
间隔0.06s各算法计算结果求得的节点5位移如下表所示：
从上图分析可得：三种计算结果基本吻合，原因是所选取的时间步长足够小，所以结果基本上相同，都趋于准确值。
2.5 使用midas软件计算。
1.建模如下所示：
有限元模型。
2.输入**波，采用直接积分法进行计算，分析时间1.5s，步长0.00003s，具体参数如下图所示：
图 5-23.运行程序进行计算。
通过使用迈达斯计算也可得到本平面梁5号节点在y方向的位移时程曲线图，如图2-5所示。
图2-5 节点5在y方向的位移时程曲线图（计算）
并且得到用计算节点5在y方向上的位移最大值为。
将各方法计算节点5在y方向上的最大位移值汇总得表2-1。
表2-1 节点5在y方向上的最大位移值汇总。
附录：第二题matlab计算命令流：
clear all
a=1.25e-2 ;%面积单位m^2
i=4.15e-5 ;%截面惯性矩单位m^4
e=2.10e10 ;%弹模单位n/m^2
m1=1均布质量单位 kg/m
l=1.0 ;%长度单位m
由已知的单元刚度矩阵计算得到集成刚度矩阵。
k=e*i/l^3*[24,0,-12,6*l,0,0,0,0;0,8*l^2,-6*l,2*l^2,0,0,0,0;-12,-6*l,24,0,-12,6*l,0,0;6*l,2*l^2,0,8*l^2,-6*l,2*l^2,0,0;0,0,-12,-6*l,24,0,-12,6*l;0,0,6*l,2*l^2,0,8*l^2,-6*l,2*l^2;0,0,0,0,-12,-6*l,12,-6*l;0,0,0,0,6*l, 2*l^2,-6*l, 4*l^2];
由已知的单元质量矩阵计算得到集成质量矩阵。
m=m1*l/420*[312,0,54,-13*l,0,0,0,0;0,8*l^2,13*l,-3*l^2,0,0,0,0;54,13*l,312,0,54,-13*l,0,0;-13*l,-3*l^2,0,8*l^2,13*l,-3*l^2,0,0;0,0,54,13*l,312,0,54,-13*l;0,0,-13*l,-3*l^2,0,8*l^2,13*l, -3*l^2;0,0,0,0,54,13*l,156,-22*l;0,0,0,0, -13*l, -3*l^2,-22*l, 4*l^2];
%求频率和振型
y,t]=eig(k,m);
其中y为振型矩阵，t为频率^2矩阵。
w=(t).^0.5; %求频率向量。
求各阶频率。
w1= w(1,1);
求各阶振型，y1为第一阶振型。
y1= y(:,1);
定义**加速度
l=[1;0;1;0;1;0;1;0] ;影响向量(由图示自由度方向得到)
ug=@(t)100*t.*(t>=0&t<0.1)+10.
*(t>=0.1& t<0.2)+100*(0.
3-t).*t>=0.2 & t<0.
3)+0.*(t>=0.3);
p=-m*l ;%ug 未考虑**力。
c=0.048*m+0.045*k;
k=y'*k*y;
m=y'*m*y;
c=y'*c*y;
p=y'*p;
dt=0.00003 ; 时间步长。
n=20000步数。
d2=size(w,1) ;自由度个数。
tend=n*dt ; 时间终值。
%%中心差分法。
u = zeros(d2, 2 ) 位移。
s = zeros(d2, 2 ) 速度。
j = zeros(d2, 2 ) 加速度。
t1= zeros(d2, 2 ) 时间。
t1(1,1)= dt ;
j(:,2)=inv(m)*(p*0-c*s(:,1)-k*u(:,1)) **力是从i=2时加载。
u(:,1)=u(:,2)-dt*s(:,2)+dt^2/2*j(:,2求u-1
ke=1/dt^2*m+1/(2*dt)*c;
a1=1/dt^2*m-1/(2*dt)*c;
b1=k-2/dt^2*m;
循环计算部分。
for i=2:n+1;
t=dt*(i);
t1(:,i+1)=t1(:,i)+dt;
pe=p*ug(t)-a1*u(:,i-1)-b1* u(:,i);
u(:,i+1)=inv(ke)*pe;
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