第一题（18分）
如图1所示，1根长为2l的细绳，两端各系1个质量为m的小滑环，滑环套在固定的水平杆上，细绳的中点挂1个质量为m=2m的重物。不计细绳质量和一切摩擦，从细线与滑杆平行位置由静止释放到水平杆与绳夹角为的位置时：
1、两滑环与重物的速度为多大？
2、连接滑环与重物的细绳中的张力为多大？
第二题（20分）
1、已知接地金属导体球附近存在1个点电荷时，。设接地导体球半径为r，球外点电荷q距球心距离为d，如图2所示，试确定另一电荷q′的位置和电量？
个由绝缘细线做成的刚性圆形轨道，如图3所示，半径为r，置于水平面上，圆心在o点。1个小球p穿在此轨道上，并可沿轨道无摩擦地滑动，小球带电量为q。已知在轨道平面内a点（oa=r第三题（18分）
2023年由斯图尔特和道尔曼首次测定了以匀角加速度运动的圆线圈中产生的电流。每一匝圆线圈电流设为i。在圆中心处产生的磁感应强度为。
r为圆半径）
现考察1个均匀的细金属导线（单位长度的电阻等于）做成的1个圆环，围绕其中心进行匀加速转动，角加速度为。试计算在环中心的磁感应强度b的值（电子电荷为e，质量为m）
第四题（22分）
对磁现象的成功解释最早是由安培提出的，按照安培的计算，长直细导线通过稳恒电流i，并被弯成“v”形，半张角为（以弧度为单位）时，在v形导线包围面以外对称轴上的p点（）的磁感应强度b的大小正比于。安培的研究后来被总结到麦克斯韦电磁理论中而被普遍接受。（如图4所示）
试求：1、p点磁感应强度b的方向。
2、按安培的研究：磁感应强度b正比于，即，求比列系数k。
已知无限长直通电导线旁的某点磁感应强度b与电流i和位置r（该场点到直导线的距离）关系为。
为比例系数）
3、设p′点是在对称轴上关于顶点o而与p对称的点（在v形内，与顶点距离），如图4所示，则p′处的磁感应强度为多少？
第五题（20分）
假设大气的折射率n与空气密度的关系为：
式中a为常数，为地球表面的大气密度，大气折射率随高度的增加而递减，为使光线能沿着地球表面的圆弧弯曲传播，地表的空气密度应是实际密度的多少倍？已知地表空气的实际折射率。
第六题（20分）
1个球形肥皂泡，质量为m，其内充有空气（不计空气质量），泡外为真空，平衡时半径为r0，由于受到扰动，肥皂泡做微小的径向振动，求振动周期。（设振动过程中泡内空气温度保持不变；肥皂膜的表面张力系数为）
第七题（22分）
如大家所知，海洋的潮汐基本上来自月球的引力作用，而在较小一些的程度上也来自太阳的引力作用。为使问题简化，作如下假设：
a）地球和月球组成1个封闭系统；
b）月球到地球的距离为1个常量；
c）地球完全由海洋覆盖；
d）不计地球的自转。
1、试求月球在地球上任意位置对单位质量的海水产生的潮汐力。设月球质量为m，地月中心间距离为r，万有引力常量为g，地球半径为r。
2、求地球上任意位置处的水位变化h（）
第一题（18分）
如图所示时，设小环与重物的速率分别为v1和v2；加速度大小分别为a1和a2，则。
1．由机械能守恒，可得。
而。联立①、②可得（考虑到m=2m）
2．由牛顿第二定律：
对小环。对重物。
小环相对重物与绳的结点作圆周运动，以该结点（即重物）为参照物，则有。
（v为m相对m的速度） ⑤
并考虑到m=2m，联立各式得
第二题（20分）
1.是的球面镜像电荷。如图所示，可以肯定镜像电荷一定在对称轴上，设其电量为，距球心o的间距为r，则考察对称轴与球面的两交点b、的电势，可得。
而球接触。联立①、②得。
2．要使带电小球d能在圆周上做匀速圆周运动，必须使轨道上各点的电势相等。然而由两点电荷（a与处的）在空间产生的电场中等势面若是1个球面，则该等势面的电势一定为零。由此可知a与互为镜像电荷。
由1的结论易得：
（其中），解出：
第三题（18分）
取与金属环上一小段孤长一起做加速运动的坐标系，该坐标系与构成金属晶格的离子相连。在该坐标中，电子受惯性力作用，切向大小为，法向惯性力对本题无实质意义，不考虑。最后由于电子与晶格的作用，当达到某状态时，电子受力平衡而做稳定的运动，从而在其中发现有电流，虽然在导线中并没加电动势。
电子所有切向惯性力可以用1个假想的电场力做类比，设此电场强度为e，则。
又由电阻定律
单位长度的电阻
所以。这圆环中心处的磁感应强度为：
第四题（22分）
1．由右手定则和叠加原理，易知p点处的磁感应强度b的方向是垂直于纸面向外的。
2．由安培的公式：
当时，“v”变为无限长直导线，此时。
而按题设所给公式
所以。3．如图所示，可将v形电流等价为2条交叉的无限长直导线加上另一个形电流，与v关于顶点o对称，且流过同样大小而方向相反的电流i。
则。而，垂直纸面向内，，垂直纸面向外。所以。或。
这相当于半张角为（x－a），而电位反向的v形外面的点。
第五题（20分）
如图所示，o为地心，r0为地球半径，地表有1个薄环形层为光的圆折射通道，由惠更斯原理，波前与波线处正交，所以波前形状保持径向不变，故有。
其中，为地表处大气折射率，n为距地心r处的大气折射率。
又由题设。其中是所能发生圆折射的地球表面的空气密度。
取，得。即。
而，有。对地表大气。
对比①、②两式得
第六题（20分）
如图a所示，1个肥皂泡内外气体压强分别为p1、p2，则。
对本题外界为真空，则泡内压强为。平衡时泡内气压为，泡半径为r0，如图b所示，当受到扰动，肥皂泡作径向振动。设振动泡半径为r，时，泡内气压为p，则有。
由等温变化规律：
所以。则整个泡在振动中受到的径向合外力为。
所以。周期。
第七题（22分）
1.地球一月球系统绕其质心转动，对连接于地心的转动参照系，分析地球表面上任一点p处的水粒m运动规律。
对于地面上任意一点p处的水粒m，其受力为月球的万有引力和惯性离心力，则在x方向的合力为（如图所示）
因为a很小）
所以单位质量物质位于p处受到的潮汐力为（x分量）
同理，得y方向的潮汐力为：
所以。2．如图所示，考察一水粒（质量为m）被潮汐力从d点带到任意点p的过程中所做的功。
由，得。
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